卡特兰数的含义:

说到卡特兰数,就不得不提及卡特兰数序列。卡特兰数序列是一个整数序列。其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个卡特兰数数,前几个卡特兰数数是:1,
1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, …运用卡特兰数能够解决很多实际问题上的计数问题

卡特兰数的几个基本性质以及变形公式:(提示括号一上n一下m表示n中选择m个的组合数)

1、-->>

2、

3、

4、

以上的推导公式为其基本性质总结,假设有计数问题可以装换为以上几个公式那么他们就是卡特兰数的变形

直接运用卡特兰数的公式:f(n+1)=(4*n-6)/n*f(n)进行计算。

卡特兰数变形运用:

n个+1和n个-1构成2n项。其部分和满足的序列个数等于卡特兰数

证明:

我们如果不满足条件的序列个数为,那么就有

接着就是求了,我们如果有一个最小的k令

因为这里k是最小的(注k为最小的令的值,所以在K之前肯定是>=0的),所以必有,而且k是一个奇数不是偶数。此时我们仅仅将前k项中的+1变为-1。将-1变为+1,那么对于0-2*n。就能得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了。如此。从2*n中提取出n+1个+1或者n-1个-1,便是我们所求的,数值大小为 。那么我们就得到了就是我们基本性质中的第一个。

变形:

1.将-1看成右括号。+1看成左括号,就变成了合法括号表达式的个数。

2.n+1个数连乘。乘法顺序有

3.n个节点的二叉树的全部可能形态数为

我们考虑随便取一个节点作为根,那么他左边和右边的儿子节点个数就确定了。假定根节点标号为x,那么左子树的标号就从1到x-1,共x-1个,右子树的标号就从x+1到n。共n-x个,那么我们的x从1取到n,就获得了全部的情况数就是我们基本性质中的第三个

4.对于一个n*n(记住是n*n,当然,假设你使用n*m也可。可是须要改变公式)的正方形网格,每次我们能向右或者向上移动一格,那么从左下角到右上角的全部在副对角线右下方的路径总数为

我们将一条水平边记为+1,垂直边记为-1,那么就组成了一个n个+1和n个-1的序列。我们所要保证的就是前k步中水平边的个数不小于垂直边的个数。换句话说前k个元素的和非负即,就是我们证明的第一个。

5.凸n+2边形进行三角形切割(仅仅连接顶点对形成n个三角形)数:下面是n=4的情况

6.n个数入栈后的出栈的排列总数是。比如1,2,3入栈的出栈排序有123,132,213,231和321五种

7.对于集合的不交叉划分的数目为,不交叉划分即两个区间能够包括或者相离,可是不能够交叉,就像两个圆之间的关系一样。能够圆包括圆。相离。可是不能相交

8.n层的阶梯分割为n个矩形的切法数也是。例如以下图所看到的:(下面为n=4的情况)

证明暂无

9.在一个2*n的格子中填入1到2n这些数值使得每一个格子内的数值都比其右边和上边的全部数值都小的情况数也是

10.平面上连接能够形成凸包的2n个点分成2个一组连成n条线段。两两线段之间不相交的情况总数是

卡特兰数-Catalan数的更多相关文章

  1. 卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 )

    卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 ) Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(13170) 评论(1)  编辑 收藏 引用 所属分类: ACM ( 数论 ...

  2. 整理一点与排列组合有关的问题[组合数 Stirling数 Catalan数]

    都是数学题 思维最重要,什么什么数都没用,DP直接乱搞(雾.. 参考LH课件,以及资料:http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html 做到有 ...

  3. Stirling数,Bell数,Catalan数,Bernoulli数

    组合数学的实质还是DP,但是从通式角度处理的话有利于FFT等的实现. 首先推荐$Candy?$的球划分问题集合: http://www.cnblogs.com/candy99/p/6400735.ht ...

  4. 矩阵连乘问题的算法复杂度的计算--卡塔兰数(Catalan数)的数学推导和近似公式

    author: cust-- ZKe --------------------- 这里以连乘积加括号问题为背景: 由于矩阵的乘积满足结合律,且矩阵乘积必须满足左边矩阵的列数的等于右边矩阵的行数,不同的 ...

  5. [Catalan数三连]网格&有趣的数列&树屋阶梯

    如何让孩子爱上打表 Catalan数 Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列. 以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名. 先丢个公式(设第n项为$ ...

  6. catalan 数——卡特兰数(转)

    Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1) ...

  7. Catalan数——卡特兰数

    一.Catalan数的定义 令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0)  (n& ...

  8. 卡特兰数 Catalan 笔记

    一.公式 卡特兰数一般公式 令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式.h(n) = h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>= ...

  9. 卡特兰数(Catalan)及其应用

    卡特兰数 大佬博客https://blog.csdn.net/doc_sgl/article/details/8880468 卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列. 卡特兰数前几项 ...

随机推荐

  1. BZOJ 4766: 文艺计算姬

    4766: 文艺计算姬 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 456  Solved: 239[Submit][Status][Discuss] ...

  2. 【CF1043B】Lost Array(枚举)

    题意:给定n与数组a,求所有的k使得存在x数组能按以下规则构造出a n<=1e3,a[i]<=1e6 思路: #include<cstdio> #include<cstr ...

  3. css sticky footer 布局 手机端

    什么是css sticky footer 布局? 通常在手机端写页面 会遇到如下情况 页面长度很短不足以撑起一屏,此时希望页脚在页面的底部 而当页面超过一屏时候,页脚会在文章的底部 ,网上有许多办法, ...

  4. MVC中的过滤器/拦截器怎么写

    创建一个AuthenticateFilterAttribute(即过滤器/拦截器) 引用System.Web.Mvc; public class AuthenticateFilterAttribute ...

  5. linux多线程学习笔记六--一次性初始化和线程私有数据【转】

    转自:http://blog.csdn.net/kkxgx/article/details/7513278 版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载. 一,一次性初始化 以保证线程在调用资源 ...

  6. Scrapy学习-25-Scrapyd部署spider

    Scrapyd部署爬虫项目 github项目  https://github.com/scrapy/scrapyd    官方文档  http://scrapyd.readthedocs.org/  ...

  7. Python Challenge 第十关

    第十关是一张牛的图片和一行字:len(a[30])=?.图片中的牛是一个链接,点开后进入一个新页面,只有一行字: a = [1, 11, 21, 1211, 111221, 看来要知道第31个数多长, ...

  8. mysql 增加字段

    alter table 表名 add 字段 varchar(500) comment '备注' default 0 after 字段;

  9. ViewAnimator实现复杂的动画效果

    咱们先看个原生的 AnimatorSet animatorSet = new AnimatorSet(); animatorSet.playTogether( ObjectAnimator.ofFlo ...

  10. iOS数组去重的方法,超级简单

    //最近新发现的一个数组去重,用不着循环,一句代码搞定 //去除数组中重复的 NSArray *oldArr = @[@"1",@"2",@"3&qu ...