*本文主要是记录并分享最近学习到的知识,算不上原创

*参考文献见链接

本文主要是讲述local branching算法,主要以M. Fischetti的论文 “Local braching”和Pierre Hansen的论文“Variable neighborhood search and local branching”为参考文献。

https://link.springer.com/article/10.1007/s10107-003-0395-5

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0305054805000894

目录

  引言

  local branching 的过程

  local braching 的伪代码

引言

local branching可以说的上集合了启发式算法和精确算法的特质,读者既可以从local search的角度去理解它,也可以从branch and bound的角度去认识它。

接下来,我会从local search的角度去认识local branching,也建议读者先用local search的思想去认识它。

local branching 以local search为核心框架,它的特色在于定义邻域结构的方式:借用variable fixing heuristic的思想,利用hamming distance概念构造不等式,从而确定了邻域。这些不等式可以被称为local branching cuts。local branching 的优点在于可以在求解早期就获得不错的解

Hamming distance

首先,我们说一下hamming distance。

hamming distance是一种关于距离的定义。我们自然可以想到这种距离的定义不是唯一的,我们可以用其他的合适的距离公式来定义邻域结构。hamming distance用来判断两个字符串的差异(“距离”),指的是两个字符串中对应字符不相同的数目。

例如:

s1:1 0 1 0

s2:1 1 0 0

hamming distance为2。

所以说,如果当前解如s1, 我们将邻域结构定义为“hamming distance ≤1”,那么邻域就是{{0 0 1 0}, {1 1 1 0},{1 0 0 0}, {1 0 1 1}}。

对于0-1规划问题而言,由于变量只能取值0或1,所以用hamming distance来刻画两个解的“距离”,是很合适的,但是,对于一般的整数规划问题或者混合整数规划问题,用hamming distance来刻画两个解的“距离”,会有些不太贴切,做些调整是有必要的。所以,个人认为,利用hamming distance来构造不等式的local branching更适合于0-1规划问题,或者说大部分变量都是0-1变量的问题。

local branching 的过程

local braching 的特殊之处就在于定义邻域结构的方式,所以我们首先弄清楚local braching是如何定义邻域的。

定义邻域结构

basic local braching的过程

(1)生成初始解:生成初始解,比如通过Cplex求解获得初始解;

(2)定义邻域和候选解:将local braching cuts加到原问题中,调用Cplex求解新问题的最优解,求解后恢复成原问题(删掉刚加的local branching cuts);

(3)确定新解:如果Cplex求得的新问题的最优解优于当前解,就用最优解替代当前解,作为新解,并且将加入到原问题中,避免重复搜索;

(4)迭代:重复上述搜索过程,直到Cplex求得的新问题的最优解劣于当前解。此时,加入,调用Cplex求取最优解。

general local braching的过程

general local braching 相较于basic local braching,考虑到了:

(1)Time limit on left-branch nodes

(2)Diversification

general local braching的伪代码(local branching + Cplex)

参考文献

Fischetti, M. and Lodi, A., 2003. Local branching. Mathematical programming, 98(1-3), pp.23-47.

Hansen, P., Mladenović, N. and Urošević, D., 2006. Variable neighborhood search and local branching. Computers & Operations Research, 33(10), pp.3034-3045.

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