CCC2019游记

好吧其实是清华游记，$CCC2019$ 在中国只有北京和天津举办，要选去加拿大的人很少，估计是最近两国关系有点紧张的缘故吧

但实际上是某些已经被清华钦点的人去预览一下他们未来的栖息所

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$13:30$ 到了清华（门口的保安都好高端啊，手臂上都有“清华门警”标志），发现清华计算机系大楼里的通道都挺神秘的，两边的研究房（其实跟学生的办公室差不多）也好高级……我只记得第一个好像叫“下一代互联网研究中心”，别的记不清了。

先去楼上听了不知道哪个清华老师的诈骗招生讲解。

老师的讲解也比较温和催眠（全场大部分听着听着就睡着了），列举了一下清华在计算机系的各个成就以及世界排行，包括 $AI$、系统等方面。名次你知道的

列举了很多排名，讲讲清华招生政策，并且鼓励在场的几十个同学早日来到清华研究学习。

其实老师完全可以不用吹那么多，或者不说，全场都会自动被诈骗去清华的（说的不错，tm考得上吗）。

吹完了，下楼去听另一个老师讲讲 $IPV6$ 相关的知识。

虽然 $IPV6$ 有 $2^{128}$ 个地址（$2^{64}$ 已经是个天文数字了），而且 $IPV6$ 不分公网私网，但目前 $IPV6$ 在国内没有普及，重要原因貌似就是 $IPV4$ 和 $IPV6$ 不兼容，也就是 $IPV4$ 地址的网站不能转用 $IPV6$ 打开，目前还在抓紧研究两种地址间的翻译技术（当然还有其它原因）。

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然后就早早地去 $CCC2019$ 考场了。那个机房是一个不知道该怎么形容的弧状，反正就是清华风格吧。

听说加拿大出的题很有 $CF$ 风格？不管，反正我要浪到考试。（考后我才知道根本不是加拿大的题，是清华的人自己出的选拔题，$T2$ 和 $T4$ 甚至是我们大哥出的）

然后到考前 $10$ 分钟的时候我发现我忘了 $linux$ 的终端命令怎么写了（谁闲的蛋疼天天用 $linux$），那里的 $linux$ 里没装 $guide$ 之类的可以直接编译、运行程序的编程软件，只给了类似于 $visual\space studio\space code$ 之类的文本编辑工具。

然后发现清华大哥在旁边，我就询问了一波……

（大哥：你真该挨板子啊，基础操作都忘了）

不过只能终端编译、运行程序还是不太习惯。

$16:00$ 上清华内网打开题，全是英文，都没人志愿翻译一下的，$tzsl$。

$T1$ 题意：给你一个字符串，让你输出 删掉字符串中所有出现次数小于 $k$ 的字符后的字符串。

模拟题（woc这种题就不应该开终端编译的）

果然是 $CF$ 风格？前面的题很水？

$T2$ 的英文 $non-negative$ 我忘了什么意思，猜了半天，猜想是无符号（就是非负）。

题意：给你一个二进制完全平方数，输出其开平方根后的二进制数。$90\%$ 的数据二进制数长度 $|n|\le 3000$，$100\%$ 的数据 $|n|\le 100000$。

首先能想到二进制转十进制，直接开 $int$ 数的平方，然而这样貌似只能拿 $30\%$ 的分。

然后又看了一下满分数据，$1e5$ 的数据，想了想，按照 $CF$ 风格，这题应该就是到智力题吧？

然后推了半个小时弱智结论，写了一发，并不对，白忙活了。

只好回头考虑 $90$ 分

二分答案？然而高精度二分不是很蠢吗……复杂度大概是 $O(|n|^3)$ 的样子（没仔细思考），$60\%$ 的分。

其实不难发现 高精度二分只要从高到低枚举每一位是 $1$ 还是 $0$ 即可，二进制基础知识。

对于枚举的一个二进制位，如果设其为 $1$ 后比给定的数大，就把这位设为 $0$，否则设为 $1$。

把一个二进制数修改一位后再求其平方，朴素暴力的时间复杂度是 $O(|n|^2)$ 的，套外面的枚举 $|n|$ 个二进制位，复杂度 $O(|n|^3)$。

仔细思考一下，把这个数的平方列成乘法竖式，自己乘自己，其实可以在之前的平方结果的基础上 $O(|n|)$ 修改，得到新的平方结果。总时间复杂度 $O(|n|^2)$。

所以养眼+养生磨蹭了不少时间才写完 $90$ 分。滚去看 $T3$ 了。

$T3$ 题意：给你一个环，长度 $n\le 262144$，环上依次排列 $n$ 个数，每次可以把相邻的两个相同的数合并成一个新数（第 $n$ 个数和第 $1$ 个数相邻），新数的值为合并前的任意一个数 $+1$。所有数的值 $\le 40$。让你设计合并方案，使最后环上的最大数最大（“最后”指环上没有能合并的相邻两数 或者环上只剩一个数）。

考试的时候看到数据范围以为是个贪心（比较菜），于是写了个优先队列合并区间……

然后调试的时候（大概 $18$ 点整左右），我和旁边几人的电脑突然断电了……$tzsl$

监考员（大学生）去重开电闸后，有两个人的电脑重启了两次后就打开了，然而我和另外一人的电脑就崩坏了……

算算也浪费 $5$ 到 $10$ 分钟了，监考员说会给我们加时，然后先让我们坐旁边电脑了。

监考员通过安全模式帮我把 $T3$ 的代码发了过来，然而我在这段时间里证明了这个做法是错的，因为并不能朴素地优先队列合并区间。

比如一个环上有 $1\space 1\space 1\space 1\space 2\space 2$ 六个数，正确答案应该是先合并第一、二个 $1$ 或第三、四格 $1$，答案应该是 $3$，但有可能采用合并的数相同却不正确的策略，比如先合并第二、三个数，这时最大就只能弄出 $2$ 了，显然不对。

其实可以附加一些策略来修正以上问题，但是代码好像很丧心病狂，考场写出来并不太合理，于是就跳了这题。

$T4$ 题意：

有一个神奇的式子$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^n+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^n+(-\sqrt{2}+\sqrt{3})^n+(-\sqrt{2}-\sqrt{3})^n$$

这个式子中的每一项都可能不是整数，甚至不是有理数，但四项的和一定是个整数。题目并没有给出证明（就算给出证明估计也会因为不通英文而看不懂）。

不仅如此，其推广出来的式子也满足这个性质 $$\sum{(\pm\sqrt{a_1} \pm\sqrt{a_2} \pm\sqrt{a_3} ... \pm\sqrt{a_m})^n}$$

你的任务是给你 $n,m$ 和 $a_1$ 到 $a_m$，求出上式的结果膜 $10^9+7$。

$n,a_i\lt 10^9+7,\space m\le 7$

显然不能暴力，因为中间过程全是小数运算，而小数并不能取膜。

考试的时候没怎么想这题， 看到 $10\%$ 的数据中 $m=1$，于是直接做了 $10$ 分滚去看 $T5$ 了。

$T5$ 的英文有点硬核，我理解了半天才弄明白题意：

有一棵带权无根树，$n$ 个点从 $1$ 到 $n$ 编号。初始时有从 $1$ 到 $n$ 编号的 $n$ 个点集，第 $i$ 个集点集只有 $i$ 号点。

接下来有 $n-1$ 次操作，每次操作给你两个数 $a,b(a\lt b\lt n+i)$，然后生成一个编号为 $n+i$ 的新点集，其内容为编号为 $a,b$ 的两个点集的并。

保证编号为 $n\times 2-1$ 的点集恰好包含树上 $n$ 个点各一次。

对于生成出来的 $n-1$ 个点集，判断每个点集中是否有在原树上距离至少为 $k$ 的点集（$k$ 全局不变），输出 $0$ 或 $1$。

$30\%$ 的数据中 $n\le 200$， $60\%$ 的数据中 $n\le 2000$， $100\%$ 的数据中 $n\le 100000$。

注：点集是集合，有互异性，即点集中不会有同一个点出现两次。

从前往后扫部分分，很快想到了 $20\%$ 数据的做法。但因为考试策略不当，准备写的时候已经只剩 $5$ 分钟了……其实本来还有 $10$ 分钟左右加时，不过我出于某些考虑并没用（包括这考试没什么用，只取前 $2$ 名去加拿大参加比赛，其余人连个证书都没有），所以没写完这题。

算了一下，这比赛应该差不多是省选难度？然而 $3$ 小时就拿了 $200$ 分……如果用加时的话可能 $5$ 分钟大概就能写完第 $5$ 题前 $20$ 分，那也就 $220$ 分，还是菜。

出了考场后发现 两位 $GD$ 神爷一个 $390$ 一个 $400$ 吊打一群人……

据说是做过 $T3$ 原题……那神仙题我等蒟蒻都不会啊……

然后剩下的人好像也都考得并不理想，除了馒 $god$ 切了 $T5$ 拿了 $300$ 分以外，再其他人最高好像就 $200$ 分了……并不知道发挥情况

$T2$ 最后 $10$ 分是出题人（大哥）防 $AK$ 的，实际上出题人自己都没想到多项式时间的做法。有一种可能可行的方法：二分答案套 $FFT$ + 压位（那个 $FFT$ 其实就是为了快速做大乘法，也就是平方），压位要把每一位开 $long\space long$ 因为每一位要存 $30$ 个左右二进制数，复杂度大概就是 $O(\frac{n\times log(n)}{30})$。注意一下不用 $NTT$，模了高精度数的其中一位还会错（你并不能在 $NTT$ 中借取模实现进位），列乘法竖式的时候先不进位，最后统一从低往高进位即可。

$T3$ 就是一个状态偏僻（想不出来）的区间 $dp$ 变形。我们知道，在区间 $dp$ 时，一般左、右端点（或左端点和区间长度）各占一维状态，但如果区间特别长（比如 $1e5$ 级别长度），这样存显然爆空间，但我们可以观察一下 $dp$ 数组存的值，如果值很小，我们可以将 $dp$ 值与 $dp$ 的一维状态交换，从而降低复杂度。这题同理，由于初始时所有数都不超过 $40$，所以即使初始时所有数都卡满 $40$，最大也只能合出来 $40+\lfloor log(n_{max})\rfloor$，不到 $60$。

把环拆成二倍链。设 $dp(i,j)$ 表示使第 $i$ 个数变为 $j$ 时，最少要向右合并多少个数（只能向右）。转移方程大概是 $dp(i,j)=dp[i+dp(i,j-1),j-1]$（我靠有了状态后转移真好想），注意特判一下 $dp$ 值不能 $\ge i+n$，这种情况下不能更新。

$T4$ 是个比较短的矩阵快速幂（但不会推式子）。简单的说个例子：看看样例，会发现式子的每一项无论求多少次幂，都可以只用 $1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$ 这四种系数表示，所以可以以系数为横轴，$n$ 为纵轴建个矩阵，简单的话就是暴力转移，进阶一点就是矩阵快速幂。

$T5$ 考后想想其实是个傻逼题……非常结论……$WZJ$ 还讲过（我还记得）……只不过没时间思考了…… 首先前 $50$ 分都可以暴力地合并两个点集；然后 $20\%$ 的数据就是暴力两两配对两个集合中的点，看有没有距离超过 $k$ 的点，快速求两点距离的话可以写 $O(1)$ 求 $LCA$ 后求两点与 $LCA$ 的深度差，也可以直接 $O(log(n))$ 倍增求；$50\%$ 的数据，可以暴力合并出新集合后，$O(n)$ 求新集合的最长链（就是从任选的一个根节点出发求两次最远点）。

满分的话，就不能每次暴力合并两个点集了。如果不合并，又要快速求出一个点集的最远点（也就是最长链），就考虑一下能否只记一个点集的最远两点（即最长链的两端）。事实上有这么个结论，就是合并两棵树，新树只有六种最长链，即原来两棵树的两条最长链的四个端点中任选两条相连，具体证明这里不赘述了。总之记住这样一个结论，这题挺裸的……但放到第五题确实很想喷，哪怕根第二题交换一下也能接受。

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考完后找这个那个理由，说没看见 $T2$ 的 $90$ 分部分分之类的话有什么用呢？$HX$ 老爷不是说了部分分要从前往后看吗？

这风雨飘摇一程究竟还有多远？