bzoj2876 [NOI2012]骑行川藏（拉格朗日乘数法）

题目描述

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。

由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑$N$段路，每一段内的路况可视为相同：对于第$i$段路，我们给出有关这段路况的3个参数 $s_i ,k_i ,v_i'$ ，其中 $s_i$ 表示这段路的长度， $k_i$ 表示这段路的风阻系数， $v_i'$ 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为$v$，则他受到的风阻大小为 $F = k_i ( v - v_i' )^2$（这样若在长度为$s$的路程内保持骑行速度$v$不变，则他消耗能量（做功）$E = k_i ( v - vi' )^2 s$。

设蛋蛋在这天开始时的体能值是 $Eu$ ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间$T$是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数$N$和一个实数$Eu$，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。

接下来$N$行分别描述$N$个路段，每行有3个实数 $s_i , k_i , v_i'$ ，分别表示第 $i$ 段路的长度，风阻系数以及风速。

输出格式：

输出一个实数$T$，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后$6$位。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

12531.34496464

说明

【数据规模与约定】

对于10%的数据，$N=1$；

对于40%的数据，$N<=2$；

对于60%的数据，$N<=100$；

对于80%的数据，$N<=1000$；

对于所有数据，$N \leq10000$，$0 \leq Eu \leq 10^8,0 < s_i \leq 100000,0 < k_i \leq 1,-100 < v_i' < 100$。数据保证最终的答案不会超过$10^5$。

【提示】

必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

题解

先讲一讲拉格朗日乘数法：

拉格朗日乘数法是用来解决多元函数的最优值问题（最大、最小）

一般形式为：函数$f(x_1,x_2,x_3..x_n)$满足限制$g_i(x_1,x_2,x_3...x_n)=0,(i\in 1,2,3....m)$

解法：定义$h(x_1,x_2,x_3...x_n,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...\lambda_m)=f(x_1,x_2,x_3...x_n)+\Sigma_{i=1}^m\lambda_ig_i(x_1,x_2,x_3...x_n)$

函数$h$的极值就是函数$f$的最优值

$h$极值用导数求

再回到这道题，只需要满足一种限制：$g(x)=\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2\leq Eu$，并且，当$g(x)=Eu$时最优；

于是就有$g(x)$函数：$g(x)=\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2-Eu=0$

$f(x)$函数为：$f(x)=\Sigma_{i=1}^n \frac {s_i}{x_i}$，$x_i$为每段路的骑行速度

则$h(x)=\Sigma_{i=1}^n \frac{s_i}{x_i}+\lambda\ast\Sigma s_i\ast k_i(x_i-v_i')^2-Eu$

将它求导：$h'(x)=-\Sigma_{i=1}^n \frac{s_i}{x_i^2}+2\ast\lambda\ast\Sigma_{i=1}^n s_i\ast k_i(x_i-v_i')$

二分求$h'(x)=0$时的$x$值

二分时每一个$x_i$也是二分求

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<algorithm>

#include<string>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<stack>

#include<set>

#include<bitset>

#include<vector>

#include<cstdlib>

#define QAQ int

#define TAT long long

#define OwO bool

#define ORZ double

#define F(i,j,n) for(QAQ i=j;i<=n;++i)

#define E(i,j,n) for(QAQ i=j;i>=n;--i)

#define MES(i,j) memset(i,j,sizeof(i))

#define MEC(i,j) memcpy(i,j,sizeof(j))

using namespace std;

const QAQ N=10005;

QAQ n;

ORZ m;

struct data{

    ORZ s,k,v;

}a[N];

ORZ l,r,ans,v[N];

OwO pd(ORZ lmd){

    F(i,1,n){

        ORZ l=a[i].v,r=1000000,ans=0;

        F(j,1,100){

            ORZ mid=(l+r)/2.0;

            if(2*lmd*a[i].k*mid*mid*(mid-a[i].v)<=1.0) l=mid,ans=mid;

            else r=mid;

        }

        v[i]=ans;

    }

    ORZ ans=0;

    F(i,1,n) ans+=a[i].k*(v[i]-a[i].v)*(v[i]-a[i].v)*a[i].s;

    return ans>=m;

}

QAQ main(){

    scanf("%d%lf",&n,&m);

    F(i,1,n) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].s,&a[i].k,&a[i].v);

    l=0;r=10000000;

    F(i,1,100){

        ORZ mid=(l+r)/2.0;

        if(pd(mid)) l=mid;

        else r=mid;

    }

    F(i,1,n) ans+=a[i].s/v[i];

    printf("%.6lf\n",ans);

    return 0;

}