[问题2014S15] 解答

[问题2014S15]  解答

任取 \(OA\) 的特征值 \(\lambda\in\mathbb{C}\) 以及对应的特征向量 \(0\neq\xi=(x_1,x_2,\cdots,x_n)'\in\mathbb{C}^n\), 即 \[OA\xi=\lambda\xi,\] 将上式两边同时求共轭转置可得 \[\overline{\xi}'AO'=\overline{\lambda}\overline{\xi}'.\] 注意到 \(O\) 是正交阵, 将上述两式相乘可得 \[\overline{\xi}'A^2\xi=|\lambda|^2\overline{\xi}'\xi,\] 即 \[a_1^2|x_1|^2+a_2^2|x_2|^2+\cdots+a_n^2|x_n|^2=|\lambda|^2\Big(|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2\Big).\] 由假设可得 \[m^2\Big(|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2\Big)\leq |\lambda|^2\Big(|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2\Big)\leq M^2\Big(|x_1|^2+|x_2|^2+\cdots+|x_n|^2\Big),\] 因此 \[m\leq |\lambda|\leq M,\] 故结论得证.  \(\Box\)