CF932G-Palindrome Partition【PAM】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF932G
题目大意
给出一个长度为\(n\)的字符串,将其分为\(k\)段(\(k\)为任意偶数),记为\(p\)。要求满足对于任意\(i\)都有\(p_i=p_{k-i+1}\)。求方案数。
\(1\leq n\leq 10^6\)
解题思路
考虑将字符串化为\(S_1S_nS_2S_{n-1}S_3S_{n-2}...\)这样的形式,可以发现对于原本相同的段在这里就被表示为了一个偶回文子串。
那么问题就变为了划分若干个偶回文子串。设\(f_i\)表示前\(i\)个的方案的话有一种比较简单的做法,建立\(PAM\)后求出每个前缀的所有偶回文后缀,然后暴力转移。
但是这样的是\(O(n^2)\)的,时间复杂度不符合要求,考虑优化。对于一个回文串来说它的所有回文后缀就是它的\(border\)。而\(broder\)有一个性质就是所有\(broder\)的长度可以被划分成\(log\)个等差数列。
我们可以在\(PAM\)上维护这些等差数列,记录\(top_i\)表示节点\(i\)所在的等差数列的顶部,然后每次使用\(top\)往上跳。加入新的\(x\)节点(或者覆盖以前的已经有的节点)的时候累计一下自己作为末尾时所在等差数列方案和就好了
时间复杂度\(O(n\log n)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10,P=1e9+7;
int n,cnt,pos[N],len[N],dis[N],fa[N],top[N],ch[N][26];
char t[N],s[N];int f[N],g[N];
int jump(int x,int p){
while(s[p-len[x]-1]!=s[p])x=fa[x];
return x;
}
int Insert(int x,int p){
x=jump(x,p);
int c=s[p]-'a';
if(!ch[x][c]){
++cnt;len[cnt]=len[x]+2;
int y=jump(fa[x],p);
fa[cnt]=ch[y][c];y=cnt;
dis[y]=len[y]-len[fa[y]];
if(dis[y]!=dis[fa[y]])top[y]=y;
else top[y]=top[fa[y]];ch[x][c]=y;
}
return ch[x][c];
}
int main()
{
scanf("%s",t+1);n=strlen(t+1);
if(n&1)return puts("0")&0;
for(int i=1;i<=n;i+=2)s[i]=t[i/2+1];
for(int i=2;i<=n;i+=2)s[i]=t[n-i/2+1];
len[1]=-1;fa[0]=top[1]=cnt=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
pos[i]=Insert(pos[i-1],i);
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int x=pos[i];x;x=fa[top[x]]){
g[x]=f[i-len[top[x]]];
if(x!=top[x])(g[x]+=g[fa[x]])%=P;
if(!(i&1))(f[i]+=g[x])%=P;
}
}
printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}
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