C++分治策略实现二分搜索

问题描述：

给定已排好序的n个元素组成的数组，现要利用二分搜索算法判断特定元素x是否在该有序数组中。

细节须知：

（1）由于可能需要对分治策略实现二分搜索的算法效率进行评估，故使用大量的随机数对算法进行实验（生成随机数的方法见前篇随笔）。

（2）由于二分搜索需要数据为有序的，故在进行搜索前利用函数库中sort函数对输入的数据进行排序。

（3）代码主要用到的是经典的二分查找加上递归。

（4）其中limit为所要从随机数文件中提取的数据的数量，以此为限来决定算法需要在多少个数据中进行搜索。

（5）为了使代码更人性化，加入了查找成功与失败的提醒，主要区别于Search函数中的返回值，若查找成功则返回1（满足1>0，即为查找成功）,其余则返回0，即为查找失败。

（6）通过clock函数对算法运行的时间进行计算以评估算法效率。

算法原理：

假设搜索范围为数组a中的n个元素，要搜索的元素为x。

将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与x进行比较。如果x=a[n/2]，则找到x，算法终止。如果x<a[n/2]，则只要在数组a的左半部继续搜索x。如果x>a[n/2]，则只要在数组a的右半部继续搜索x。以此不断地将搜索范围折半，从而实现采用分治策略进行二分搜索。

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <cstdlib>
 #include <ctime>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define limit 100000

 int Search(int R[],int low,int high,int k)    //low表示当前查找的范围下界、high表示当前查找范围的上界，k为所要查找的内容
 {
     int mid;

     if (low<=high){                           //查找区间存在一个及以上元素
         mid=(low+high)/;                     //求中间位置
         if (R[mid]==k)                        //查找成功返回1
             return ;
         if (R[mid]>k)                         //在R[low..mid-1]中递归查找
             Search(R,low,mid-,k);
         else                                  //在R[mid+1..high]中递归查找
             Search(R,mid+,high,k);
     }
     else
         return ;
 }

 int main(void)
 {
     ifstream fin;
     int x;
     int i;
     int a[limit];
     int result;

     fin.open("random_number.txt");
     if(!fin){
         cerr<<"Can not open file 'random_number.txt' "<<endl;
         return -;
     }

     time_t first, last;

     for(i=; i<limit; i++){
         fin>>a[i];
     }
     fin.close();

     sort(a,a+limit);

     cout<<"Please enter the number you want to find：";
     cin>>x;

     first = clock();

     result = Search(a,,limit-,x);

     if(result>)
         cout<<"Search success!"<<endl;
     else
         cout<<"Can not find it!"<<endl;

     last = clock();

     cout<<"Time cost: "<<last-first<<endl;

     return ;
 }

程序设计思路：

若x等于中间项，则退出。否则，

（1）将数组划分为两个子数组，其大小大约为原数组的一半。如果x小于中间项，则选择左子数组；如果x大于中间项，则选择右子数组。

（2）确定x是否在该子数组中，以解决该子数组。如果该子数组不够小，则进行递归处理。

（3）由子数组的答案获得原数组的答案。

结果数据格式为time_t格式相减得到的长整型。

时间复杂性分析：

假设搜索范围为数组a中的n个元素，要搜索的元素为x。

将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与x进行比较。如果x=a[n/2]，则找到x，算法终止。如果x<a[n/2]，则只要在数组a的左半部继续搜索x。如果x>a[n/2]，则只要在数组a的右半部继续搜索x。以此不断地将搜索范围折半，从而实现采用分治策略进行二分搜索。

其中，每执行一次算法的循环，待搜索数组的大小减少一半。在最坏情况下（即x大于所有数组项），如果n是2的幂，而且x大于所有数组项目，那每次调用生成的实例恰好为原实例的一半；若n=1，且x大于这个唯一数组项目，会将x与此项目进行比较，后面是在low>high条件下的一次递归调用。因而，确定递推关系：

W（n）=W（n/2）+1 （n>1,n为2的幂）

W（1）=1

由Master方法可以得到

W（n）=lgn+1

如果n不仅局限于2的幂，则

W（n）=⌊lgn⌋+1∈O（lgn）

其中⌊y⌋表示小于或等于y的最大整数。