C 题解———2019.10.16
现在很痛苦,等过阵子回头看看,会发现其实那都不算事。
【题目描述】
定义一个排列 a 的价值为满足|a[i]-i|<=1 的 i 的数量。
给出三个正整数 n,m,p,求出长度为 n 且价值恰好为 m 的排列的个数对 p 取
模的结果。
【输入描述】
第一行两个正整数 T,p,T 为数据组数,p 为模数。
接下来 T 行,每行两个正整数 n,m。
【输出描述】
T 行,每行一个非负数,表示答案。
【输入样例】
5 1887415157
3 1
3 2
3 3
50 10
1500 200
【输出样例】
1
2
3
621655247
825984474
【数据范围】
10%的数据:n<=10
30%的数据:n<=15
50%的数据:n<=200
另有 10%的数据:m=1
另有 10%的数据:m=n-1
100%的数据:1<=T,n,m<=2000,2<=p<=10^12
题意:
定义一个排列 a 的价值为满足|a[i]-i|<=1 的 i 的数量。
给出三个正整数 n,m,p,求出长度为 n 且价值恰好为 m 的排列的个数对 p 取模的结果。
T组询问,p事先给出。
题解:
因为n,m <= 2000,而且p是事先给出的,所以我们可以一次性预处理出n,m <= 2000的答案。
考虑一个长度为i的排列如何变成长度为i+1的排列。
一种情况是我在它末尾加入了一个数i+1,另一种情况是我用i+1替换掉了原来排列中的一个数,然后把被换掉的数放到排列的末尾。
那么,这个排列权值的变化就是:
第一种情况:在它末尾加入了一个数i+1,权值+1。
第二种情况:用i+1替换掉一个数,权值 += 加的贡献 - 换掉的数的贡献。
在DP当中,我们只需要考虑替换掉的数是否是i,以及i是否在位置i/i-1即可。总共有5种本质不同的状态,分类讨论转移即可。
复杂度O(nm)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long LL; const int N=; int q,n,m,u,v;
LL p,ans,f[N][N][],x; int rd(){
int re=,f=;char c=getchar();
while ((c<'')||(c>'')) {if (c=='-') f=-f;c=getchar();}
while ((c>='')&&(c<='')) {re=re*+c-'';c=getchar();}
return re*f;
} int main(){
freopen("c.in","r",stdin);
freopen("c.out","w",stdout);
cin>>q>>p;
memset(f,,sizeof(f));
f[][][]=1ll;
f[][][]=1ll;f[][][]=1ll; n=;
for (int i=;i<n;++i)
for (int j=;j<=n;++j){
for (int k=;k<=;++k){
x=f[i+][j+][]+f[i][j][k];
x=(x<p)?x:(x-p);
f[i+][j+][]=x;
u=j+((k%)==);
v=+(k!=);
x=f[i+][u][v]+f[i][j][k];
x=(x<p)?x:(x-p);
f[i+][u][v]=x;
} if (f[i][j][]>0ll){
f[i+][j-][]=(f[i+][j-][]+f[i][j][]*(LL)(j-))%p;
f[i+][j][]=(f[i+][j][]+f[i][j][]*(LL)(i-j))%p;
}
if (f[i][j][]>0ll){
x=f[i+][j][]+f[i][j][];
x=(x<p)?x:(x-p);
f[i+][j][]=x;
f[i+][j-][]=(f[i+][j-][]+f[i][j][]*(LL)(j-))%p;
f[i+][j][]=(f[i+][j][]+f[i][j][]*(LL)(i-j))%p;
}
if (f[i][j][]>0ll){
x=f[i+][j][]+f[i][j][];
x=(x<p)?x:(x-p);
f[i+][j][]=x;
f[i+][j-][]=(f[i+][j-][]+f[i][j][]*(LL)(j-))%p;
f[i+][j][]=(f[i+][j][]+f[i][j][]*(LL)(i-j-))%p;
}
if (f[i][j][]>0ll){
x=f[i+][j+][]+f[i][j][];
x=(x<p)?x:(x-p);
f[i+][j+][]=x;
f[i+][j-][]=(f[i+][j-][]+f[i][j][]*(LL)(j-))%p;
f[i+][j][]=(f[i+][j][]+f[i][j][]*(LL)(i-j-))%p;
}
if (f[i][j][]>0ll){
x=f[i+][j+][]+f[i][j][];
x=(x<p)?x:(x-p);
f[i+][j+][]=x;
if (j>) f[i+][j-][]=(f[i+][j-][]+f[i][j][]*(LL)(j))%p;
f[i+][j][]=(f[i+][j][]+f[i][j][]*(LL)(i-j-))%p;
}
} for (;q>;--q){
cin>>n>>m;
ans=(f[n][m][]+f[n][m][]+f[n][m][]+f[n][m][]+f[n][m][])%p;
cout<<ans<<'\n';
}
return ;
}
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