Educational Codeforces Round 14E. Xor-sequences（矩阵快速幂）

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题意

给定序列，从序列中选择k(1≤k≤1e18)个数（可以重复选择），使得得到的排列满足\(x_i与x_{i+1}\)异或的二进制表示中1的个数是3的倍数。问长度为k的满足条件的序列有多少种？

分析

看了tags发现有关矩阵就跟最近做的矩阵快速幂联系起来了，假如ai与aj异或的数满足条件，可以看作i到j练了一条边，再异或后的数到ak也连边，那么如果找长度为3的序列，（ai，aj，ak）一定满足条件

我们可以

1.先\(O(n^2)\)预处理出k=2情况下的邻接矩阵

2.对矩阵求k-1次幂

3.矩阵里的数求和

这道题做完了不妨做做这道题Mistwald，也是类似的一道题

trick

1.注意开long long

2.如果k=1，输出n

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
int n;
const ll mod = 1e9+7;
ll k,a[101];
struct matrix
{
    ll m[111][111];
}ans,ret;
bool check(ll x,ll y)
{
    ll tmp=x^y;
    int cnt=0;
    while(tmp){ cnt+=tmp&1;tmp>>=1; }
    if(cnt%3==0) return 1;return 0;
}
matrix multi(matrix x,matrix y)
{
    matrix tmp;
    F(i,1,n)F(j,1,n)
    {
        tmp.m[i][j]=0;
        F(k,1,n) (tmp.m[i][j]+=x.m[i][k]*y.m[k][j])%=mod;
    }
    return tmp;
}
void quick_mod(ll p)
{
    for(;p;p>>=1,ret=multi(ret,ret)) if(p&1) ans=multi(ans,ret);
}
int main()
{
    scanf("%d %lld",&n,&k);
    F(i,1,n) scanf("%lld",a+i);
    if(k==1) { printf("%d\n",n);return 0; }
    F(i,1,n)F(j,1,n)if(check(a[i],a[j])) ret.m[i][j]=1;
    F(i,1,n) ans.m[i][i]=1;
    quick_mod(k-1);
    ll cnt=0;
    F(i,1,n)F(j,1,n) (cnt+=ans.m[i][j])%=mod;
    printf("%lld\n",cnt);
}