SPOJ COT2 Count on a tree II （树上莫队，倍增算法求LCA）

题意：给一个树图，每个点的点权（比如颜色编号），m个询问，每个询问是一个区间[a,b]，图中两点之间唯一路径上有多少个不同点权（即多少种颜色）。n<40000，m<100000。

思路：无意中看到树上莫队，只是拿来练练，没有想到这题的难点不在于树上莫队，而是判断LCA是否在两点之间的路径上的问题。耗时1天。

　　树上莫队的搞法就是：

　　（1）DFS一次，对树进行分块，分成sqrt(n)块，每个点属于一个块。并记录每个点的DFS序。

　　（2）将m个询问区间用所属块号作为第一关键字，DFS序作为第二关键字进行排序。

　　（3）转移都是差不多的，靠具体问题分析转移方式。

　　这题的搞法：

　　（1）点权可能过大，但是只有4万点权，所以映射到1~4w进行处理。

　　（2）DFS对树进行分块，标记dfs序，记录每个点的深度（倍增用）。

　　（3）LCA预处理，以及求LCA的函数。

　　（4）对m个询问进行排序。

　　（5）莫队开始搞起。

　　如何转移（抄别人的）：

　　（1）定义S(u,v)为u−v路径上的顶点集合，root表示根节点。

　　（2）S(u,v)=S(root,u)△S(root,v)△lca(u,v) (△表示集合中的对称差，相当于xor)

　　（3）定义T(u,v)=S(root,u)△S(root,v)，我们先不管lca的事情

　　（4）如果我们从u−v的路径变成u−v′的路径的话对答案有什么影响呢？

　　（5）根据定义我们可以得到T(u,v′)=S(root,u)△S(root,v′)

　　（6）T(u,v)△T(u,v′)=S(root,u)△S(root,v)△S(root,u)△S(root,v′)=S(root,v)△S(root,v′)=T(v,v′)。

　　也就是说，(a,b)要转移到(a,c)的话，将a点固定不动，b点逐个点走到c点就行了，肯定是将b走到Lca，c也走到Lca就行了。假设(a,b)路径上的点已经作了标记，只需要在走的时候，(b,c)路径上有标记的点就去掉，无标记的就加标记。

　　这样的做法理论上很容易理解，想起来不简单。因为当你走过a,b,c其中两个点的Lca时，你得想清楚这个Lca究竟要不要，而一共有3个Lca可以玩。当然如果某个点在(a,c)路径上，那么肯定是要的，所以任务就是判断这3个Lca是否在这段路径上。这才是难点！

　　虽然有很多种情况，但归类为3种：（1）单纯缩短 （2）单纯伸长 （3）先缩短+再伸长。

　　只要分这3类处理就OK了。而LCA(a,c)肯定是要的，这就可以利用了，判断LCA(b,c)是否在(a,c)上，可以根据从c走到LCA(b,c)遍历的点的顺序，是先到达LCA(a,c)还是LCA(b,c)？如果先到达LCA(b,c)，后达LCA(a,c)，则LCA(b,c)就要，否则就不要。同理这样判断LCA(a,b)要不要。

3500ms+

 #include <bits/stdc++.h>
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int N=;

 struct Que
 {
     int L, R, pos, ans;
     Que(){};
     Que(int L,int R,int pos):L(L),R(R),pos(pos){ans=;};
 };
 int belongto[N], dfn[N], pre[N], stac[N], w[N];
 int depth[N], anc[N][], inp[N], cnt, bit[];
 int n, m, block, block_cnt, stac_top, dfn_clock, up;
 vector<int> vect[N];
 vector<Que> que;

 void add_edge(int from,int to)
 {
     vect[from].push_back(to);
     vect[to].push_back(from);
 }
 inline int cmp(Que a,Que b) //第一关键字：块。第二关键字：DFS时间戳。
 {
     if(belongto[a.L]==belongto[b.L])    return dfn[a.R]<dfn[b.R];
     return belongto[a.L] < belongto[b.L];
 }

 inline int cmp1(Que a,Que b){return  a.pos<b.pos;}

 void DFS(int x)     //树的分块。
 {
     dfn[x]=++dfn_clock; //dfs序
     int cur=stac_top;
     for(int i=; i<vect[x].size(); i++)
     {
         int t=vect[x][i];
         if(!dfn[t])
         {
             pre[t]=x;
             depth[t]=depth[x]+;        //深度
             DFS(t);
             if(stac_top-cur >= block)  //够block个就组
             {
                 block_cnt++;
                 while(--stac_top>=cur)
                 {
                     int p=stac[stac_top];
                     belongto[p]=block_cnt;
                 }
                 stac_top++;             //栈顶必须为空
             }
         }
     }
     stac[stac_top++]=x;//栈
 }

 void pre_lca(int n) //倍增
 {
     memset(anc, , sizeof(anc));
     for(int i=; i<=n; i++) anc[i][]=pre[i];   //0是他们自己的父亲。

     for(int k=; (<<k)<=n; k++)    //第2的k次方个父亲。
     {
         for(int i=; i<=n; i++)
         {
             if(anc[i][k-])
             {
                 int a=anc[i][k-];
                 anc[i][k]=anc[a][k-];
             }
         }
     }
 }

 int LCA(int a,int b)
 {
     //提到同层
     if(depth[a]<depth[b])   swap(a, b);
     int log;
     for(log=; (<<log)<=depth[a]; log++ );
     log--;

     for(int i=log; i>=; i-- )      //一定要从大到小
         if( depth[a]-(<<i)>=depth[b] )
             a=anc[a][i];

     if(a==b)    return a;   //b就是lca

     for(int i=log; i>=; i--) //同时往上提。
     {
         if(anc[a][i] && anc[a][i]!=anc[b][i] )
         {
             a=anc[a][i];
             b=anc[b][i];
         }
     }
     return pre[a];
 }

 void deal(int x,int d)    //将值异或一下。
 {
     if(d==)    //加上1个
     {
         if(bit[x])  bit[x]+=;
         else        bit[x]=,cnt++;
     }
     else        //减去1个
     {
         bit[x]--;
         if(bit[x]==)   cnt--;
     }

 }

 void backtofar(int ed,int lca)   //但是lca不碰
 {
     while( ed!=lca  )
     {
         inp[ed]*=-;
         deal(w[ed], inp[ed]);
         ed=pre[ed];
     }
 }
 void biyao(int x,int b)   //保证x在inpath上的状态必为b
 {
     if(inp[x]!=b)
     {
         inp[x]*=-;
         deal(w[x], inp[x]);
     }
 }

 int update(int L,int s,int e,int lca,int lca2,int lca3) //将s转移到e
 {
     if(inp[e]==)   //第一种:缩短
     {
         backtofar(s, lca);
         backtofar(e, lca);
         biyao(s, -);
         biyao(lca, -); //s和e的LCA一定不要，若L到e经过了，那就肯定是他们的LCA，再补回来。
     }
     else            //其他两种
     {
         int ed, s_e=INF,L_s=INF, L_e=INF, Clock=; //靠flag判断是：（1）伸长  （2）缩短+伸长
         ed=s;
         while( ed!=lca )  //lca先不碰
         {
             if(ed==lca)  s_e=Clock;
             if(ed==lca3) L_s=Clock;
             inp[ed]*=-;    //取反
             deal(w[ed], inp[ed]);
             ed=pre[ed];
             Clock++;
         }

         ed=e;
         int s_e1=INF;
         while( ed!=lca )  //lca先不碰
         {
             if(ed==lca)  s_e1=Clock;
             if(ed==lca2) L_e=Clock;
             inp[ed]*=-;    //取反
             deal(w[ed], inp[ed]);
             ed=pre[ed];
             Clock++;
         }
         if(ed==lca)  s_e1=Clock;
         if(ed==lca2) L_e=Clock;

         if(L_s>=s_e)     biyao(lca3, -);
         if(s_e1>=L_e)    biyao(lca, -);

         if(L_s<s_e)     biyao(lca3, );
         if(s_e1<L_e)    biyao(lca, );
     }
     biyao(L, );
     biyao(e, );
     biyao(lca2, );
     return cnt;
 }

 void cal(int n,int m)
 {
     for(int i=; i<=n; i++) inp[i]=-;  //初始，无妨问过.
     DFS();             //分块
     while(stac_top>=)        //可能有余下的点，另开新块
     {
         int p=stac[stac_top--];
         belongto[p]=block_cnt;
     }
     pre_lca(n);             //倍增处理lca
     sort(que.begin(), que.end(), cmp);

     int ans=, L=, R=;    //先将L和R随便弄到一个区间上，比如(1,1)。
     cnt=inp[]=bit[w[]]=;
     for(int i=; i<que.size(); i++) //莫队
     {
         if(R!=que[i].R) ans=update(L, R, que[i].R, LCA(R, que[i].R), LCA(L,que[i].R), LCA(L,R) );        //左
         R=que[i].R;
         if(L!=que[i].L) ans=update(R, L, que[i].L, LCA(L, que[i].L), LCA(R,que[i].L), LCA(L,R) );        //右
         L=que[i].L;
         que[i].ans=ans;
     }
     sort(que.begin(), que.end(), cmp1);     //输出
     for(int i=; i<que.size(); i++)    printf("%d\n", que[i].ans);
 }

 map<int,int> mapp;
 void init()
 {
     block=sqrt(n);
     dfn_clock=block_cnt=stac_top=up=;
     mapp.clear();
     que.clear();
     for(int i=; i<=n; i++)    vect[i].clear();
     memset(bit, , sizeof(bit));
     memset(dfn, , sizeof(dfn));
     memset(pre, , sizeof(pre));
     memset(depth, , sizeof(depth));
 }
 int main()
 {
     freopen("input.txt", "r", stdin);
     int  a, b, t;
     while(cin>>n>>m)
     {
         init();
         for(int i=; i<=n; i++)
         {
             scanf("%d", &t);        //点权
             if(mapp[t]==)  mapp[t]=++up;   //映射为小一点的值。
             w[i]=mapp[t];
         }
         for(int i=; i<n; i++)      //树边
         {
             scanf("%d%d",&a,&b);
             add_edge(a, b);
         }
         for(int i=; i<m; i++)      //询问
         {
             scanf("%d%d",&a,&b);
             que.push_back(Que(a,b,i));
         }
         cal(n,m);
     }
     return ;
 }

AC代码