[LOJ6191][CodeM]配对游戏(概率期望DP)

n次向一个栈中加入0或1中随机1个，如果一次加入0时栈顶元素为1，则将这两个元素弹栈。问最终栈中元素个数的期望是多少。

首先容易想到用概率算期望，p[i][j][k]表示已加入i个数，1有j个，总长为k的概率。（显然栈中一定是先一些0再是1）。

考虑优化，容易想到f[i][j]表示已加入i个数，1有j个时，栈中的期望元素个数。

讨论下一个放入的数是0还是1，直接转移即可。

每次转移是状态是f[i]=(f[k]+1)*p[k][i]，其中k是能到达i的所有状态，p[k][i]是i由k转移到的概率（注意不是k转移到i的概率）。

同时维护P和f即可，注意j=0时要特判。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int N=;
 const double eps=1e-;
 int n;
 double ans,p[N][N],f[N][N];
 double Abs(double x){ return (x<) ? -x : x; }

 int main(){
     scanf("%d",&n); p[][]=;
     rep(i,,n-){
         p[i+][]+=p[i][]/; p[i+][]+=p[i][]/;
         rep(j,,n-) p[i+][j+]+=p[i][j]/,p[i+][j-]+=p[i][j]/;
         if (p[i+][]>eps) f[i+][]+=(f[i][]+)*p[i][]/(*p[i+][]);
         if (p[i+][]>eps) f[i+][]+=(f[i][]+)*p[i][]/(*p[i+][]);
         rep(j,,n-)
             f[i+][j+]+=(f[i][j]+)*((Abs(p[i+][j+])<eps)?:p[i][j]/(*p[i+][j+])),
             f[i+][j-]+=(f[i][j]-)*((Abs(p[i+][j-])<eps)?:p[i][j]/(*p[i+][j-]));
     }
     rep(i,,n) ans+=f[n][i]*p[n][i]; printf("%.3lf\n",ans);
     return ;
 }