把 c 改成 d 下了两个点。

题目描述

已知正整数 a0,a1,b0,b1a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​,设某未知正整数 xxx 满足:

  1. xxx 和 a0a_0a0​ 的最大公约数是 a1a_1a1​;
  2. xxx 和 b0b_0b0​ 的最小公倍数是 b1b_1b1​。

求满足条件的 xxx 的个数。

Solution 1

考虑一个式子。∀a,b∈N∗\forall a,b\in\N^*∀a,b∈N∗ 有a×b=gcd⁡(a,b)×lcm(a,b)a\times b=\gcd(a,b)\times\text{lcm}(a,b)a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)

枚举 gcd⁡(x,b0)\gcd(x,b_0)gcd(x,b0​),算出 xxx,判断 xxx 是否满足 1. 条件。统计答案,输出。时间复杂度 O(Tb1⋅lg⁡b1)O(T\sqrt{b_1}·\lg b_1)O(Tb1​​⋅lgb1​)。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm> #define int long long int T;
int a,b,c,d; int check(int Gcd){
int x=d/c*Gcd;
if(std::__gcd(c,x)!=Gcd) return 0;
if(std::__gcd(x,a)!=b) return 0;
return 1;
}
int work(){
int sum=0;
for(int i=1;i*i<=d;++i){
if(d%i) continue;
sum+=check(i);
if(i*i!=d) sum+=check(d/i);
}
return sum;
}
signed main(){
scanf("%lld",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
printf("%lld\n",work());
}
}

Solution 2 By @zzlzk

容易想到,∀a,b,k∈N∗\forall a,b,k\in\N^*∀a,b,k∈N∗ 有gcd⁡(a,b)=k⇔gcd⁡(ak,bk)=1\gcd(a,b)=k\quad\Leftrightarrow\quad\gcd(\frac ak,\frac bk)=1gcd(a,b)=k⇔gcd(ka​,kb​)=1

化一下式子,得到

{gcd⁡(xa1,a0a1)=1,gcd⁡(b1b0,b1x)=1.\begin{cases}\gcd(\frac x{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1,\\ \gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}x)=1.\end{cases}{gcd(a1​x​,a1​a0​​)=1,gcd(b0​b1​​,xb1​​)=1.​

枚举 b1b_1b1​ 的因子,判断是不是 a1a_1a1​ 的倍数即可。时间复杂度 O(Tb1⋅lg⁡b1)O(T\sqrt{b_1}·\lg b_1)O(Tb1​​⋅lgb1​)。

#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main() {
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--) {
int a0,a1,b0,b1;
scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
for(int x=1;x*x<=b1;x++)
if(b1%x==0){
if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1) ans++;
int y=b1/x;//得到另一个因子
if(x==y) continue;
if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1) ans++;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

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