【u128】又一个数字游戏
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【问题描述】
小明拿出了一个素数集合,{2, 3, 5, 7, 11, 13, …, 127, …},他发现,从小到大排序后,127是第31个数,而31也在素数集内,31是第
11个数,11是第5个数,5是第3个数,3是第2个数,2是第1个数。
而127,31,11,5,3,2都为素数。
这时,小明又发明了一个游戏,给出一个n,取出一个{2, 3, 4, …, n}的一个子集,子集中必须包含n。将取出子集中的数从小到大排序后
,他先取出n,n是第k1大的数,再取出k1,k1是第k2大的数,再取出k2……这样不断下去,最后能取出最小的数。对于给定的n,为{2, 3,
4, …, n}的子集中有多少个满足要求。
【输入格式】
输入文件another.in的第一行包含一个正整数T,表示了数据组数。
接下来T行,每行一个不小于2的正整数n,如题目所述。
【输出格式】
输出文件another.out包括T行,对于每个n输出相应答案,由于答案可能很大,你需要输出答案mod 100003后的结果,请注意可能要使用
int64或者long long。
【数据规模】
对于20%的数据,有T≤5, N≤12; 对于60%的数据,有T≤50,N≤100; 对于100%的数据,有T≤500,N≤500。
Sample Input1
2
5
6
Sample Output1
5
8
【样例说明】
对于n=5,有以下5个答案:
{5}, {2, 5}, {2, 3, 5}, {2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5}
{2, 4, 5}不行是因为5是第3大的数,3不在集合中。
{3, 5}同样也不行,因为5是第2大的数,2不在集合中。
对于n = 6
{3, 4, 5, 6}不行是因为6是第4大的数,4是第2大的数,2不在集合中。
【题目链接】:http://noi.qz5z.com/viewtask.asp?id=u128
【题意】
【题解】
设f[i][j]表示最大的数为i,然后最大的数的位置在j的方案数;
则f[i][j] = ∑(f[j][k]*C(i-j-1,j-k-1);
这里本来i是第j大的(因为在第j个位置),然后按照游戏的规则
前一个就是数字j了,
这正好和状态f[j][k]对应;
即最大的数字为j,然后j的位置在k;
这里k和j之间有k-j-1个空位;
你可以在这k-j-1个空位里面放j+1..i-1这些数字;组合数嘛;
预处理一下组合数就好;
这里抓住了游戏的前一个和后一个数字的矛盾,用来当做状态.
很优秀。
最后累加f[n][1..n-1]就好;
边界f[2][1]=1;
【完整代码】
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%lld",&x)
#define ref(x) scanf("%lf",&x)
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;
const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 500+10;
const LL MOD = 100003;//少加了个0........QAQ
LL c[N][N],f[N][N],sum[N];
void pre_zuhe()
{
c[0][0] = 1;
rep1(i,1,500)
c[i][0] = c[i][i] = 1;
rep1(i,2,500)
rep1(j,1,i-1)
c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
//cout << c[4][3]<<endl;
}
void do_dp()
{
f[2][1] = sum[2] = 1;
rep1(i,3,500)//最大数字为i
{
f[i][1] = f[i][2] = 1;sum[i] = 2;
rep1(j,3,i-1)//位置在j
{
rep1(k,1,j-1)//往前一个,最大数字为j,然后位置在k
if (i-j-1>=j-k-1)
f[i][j]=(f[i][j]+f[j][k]*c[i-j-1][j-k-1])%MOD;
sum[i] = (sum[i]+f[i][j])%MOD;
}
}
}
void o()
{
int T;
rei(T);
while (T--)
{
int n;
rei(n);
cout << sum[n] << endl;
}
}
int main()
{
// freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
pre_zuhe();//ok
do_dp();//ok
o();//ok
//printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
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