「ARC138E」Decreasing Subsequence（n logn 做法）

考虑一张 \(n\) 个点的图（\(V=\{0,1,\cdots,n\}\)）：点 \(i\) 连向 \(a_i-1\)，即 \(\text{index}\) 连向 \(\text{value}\)。若 \(a_i=0\)，不连边。

容易发现，每个点的入度和出度均至多为 \(1\)，这意味着这张图实际上是若干条链。在这张图上，长为 \(k\) 的递减子序列即为满足 \(pos_1<pos_2<\cdots<pos_{2k}\) 满足 \(pos_{2k+1-i}\) 连向 \(pos_i\) 的 \(2k\) 元组个数。

这相当于限制有 \(k\) 条特殊的链（它们的局部相对顺序满足 \(2k\) 元组），以及其他任意多条普通的链，考虑两者的 EGF：

• 对于特殊的链，我们可以将它们视为"前半段"和"后半段"拼接而成，两段是对称的。"前半段"的 EGF 显然为 \(\frac{(e^x-1)^k}{k!}\)，卷起来即可；
• 对于普通的链，我们将它们看成一个整体，那么 EGF 就是 Bell 数，EGF 为 \(e^{e^x-1}\)。

两者卷积即可得到答案，时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

参考代码 (因为懒得改 MTT，所以交了份模 998244353 的代码)。