Victoria的舞会2——图的连通性及连通分量
【Vijos1022]】Victoria的舞会2
Description
Victoria是一位颇有成就的艺术家,他因油画作品《我爱北京天安门》闻名于世界。现在,他为了报答帮助他的同行们,准备开一个舞会。
Victoria准备邀请n个已经确定的人,可是问题来了:
这n个人每一个人都有一个小花名册,名册里面写着他所愿意交流的人的名字。比如说在A的人名单里写了B,那么表示A愿意与B交流;但是B的名单里不见的有A,也就是说B不见的想与A交流。但是如果A愿意与B交流,B愿意与C交流,那么A一定愿意与C交流。也就是说交流有传递性。
Victoria觉得需要将这n个人分为m组,要求每一组的任何一人都愿意与组内其他人交流。并求出一种方案以确定m的最小值是多少。
注意:自己的名单里面不会有自己的名字。
Input
第一行一个数n。
接下来n行,每i+1行表示编号为i的人的小花名册名单,名单以0结束。1<=n<=200。
Output
一个数,m。
Sample Input
18
0
18 0
0
0
11 0
0
0
0
0
0
5 0
0
0
0
0
0
0
2 0
Sample Output
16
问题分析:
问题描述简要概括为:给出舞会成员之间的关系图(有向图),求解有向图的强连通分量数量。
解法1:
图的连通性+并查集:首先求出任意两点之间的连通性(最短路径),然后将互相连通的顶点使用并查集合并,并统计合并的堆数,即为所求解。
- #include<cstdio>
- #include<cstdlib>
- #include<algorithm>
- #include<iostream>
- /* 本题可以构建一个人与人之间的关系图(有向图),问题转化为求解有向连通图的极大连通子块的数量
- 求解过程:
- 第一步,构建有向连通图,并使用Floyd求出各点之间的连通性(顶点数量较少)
- 第二步,若两点之间互相连通,则把这两个点绑定到一块(分组计数减1),可以使用并查集将两个互相连通的顶点合并
- */
- using namespace std;
- #define Max 10000
- int people[205][205],Link[205][205],father[205]; //people[][]存储每人的花名册,link[][]存储相互之间的连通性
- int n,t,temp,ans;
- int Find(int i)
- {
- if(i==father[i]) return i;
- return Find(father[i]);
- }
- void Merge(int a,int b)
- {
- a=Find(a);
- b=Find(b);
- if(a!=b)
- {
- father[b]=a;
- }
- }
- void Floyd()
- {
- for(int i=1;i<=n;i++)
- for(int j=1;j<=n;j++)
- for(int k=1;k<=n;k++)
- {
- if(i!=j||i!=k||j!=k)
- {
- Link[i][j]=min(Link[i][j],Link[i][k]+Link[k][j]);
- }
- }
- }
- int main()
- {
- ios::sync_with_stdio(false);
- freopen("victoria2.in","r",stdin);
- freopen("victoria2.out","w",stdout);
- cin>>n;
- for(int i=1;i<=n;++i)
- for(int j=1;j<=n;++j)
- {
- if(i!=j) Link[i][j]=Max;
- }
- t=1,ans=n;
- while(t<=n)
- {
- while(cin>>temp)
- {
- if(temp==0) break;
- int seq=++people[t][0];
- people[t][seq]=temp;
- Link[t][temp]=1;
- }
- father[t]=t;
- ++t;
- }
- Floyd();
- for(int i=1;i<=n;i++)
- for(int j=1;j<=n;j++)
- {
- if(i!=j&&Link[i][j]<Max&&Link[j][i]<Max&&Find(i)!=Find(j)) //并查集合并关系网中互相连通的顶点
- {
- ans--;
- Merge(i,j);
- }
- }
- cout<<ans<<endl;
- return 0;
- }
解法2:
采用tarjan求有向图的强连通分量,主要使用栈的结构及访问时间戳,Low[ ]数组标记
- #include <cstdio>
- #include <stack>
- #include <algorithm>
- #include <vector>
- #include <iostream>
- using namespace std;
- vector<int> point[205];
- stack<int> S; //栈S用于存储tarja深度搜索过程中顶点的拓扑序列
- //InStack[]标记顶点是否在栈中,DFS[]标记顶点的访问时间戳,Low(u)为u或u的子树能追溯到最早的栈中节点次序号
- //Belong[]标记顶点属于哪一个强连通分量,index访问时间戳,nun强连通分量计数
- int InStack[205]={0},DFS[205],Low[205],Belong[205],Index=0,num=0;
- void tarjan(int u)
- {
- DFS[u]=Low[u]=++Index;
- S.push(u);
- InStack[u]=1;
- for(vector<int>::iterator v=point[u].begin();v!=point[u].end();++v)
- {
- if(!DFS[*v])
- {
- tarjan(*v);
- Low[u]=min(Low[u],Low[*v]);
- }
- else if(InStack[*v])
- {
- Low[u]=min(Low[u],DFS[*v]);
- }
- }
- if(DFS[u]==Low[u])
- {
- int e;
- ++num;
- while(!S.empty())
- {
- e=S.top();
- S.pop();
- InStack[e]=0;
- Belong[e]=num;
- if(u==e) break;
- }
- }
- }
- int main()
- {
- // ios::sync_with_stdio(false); //注意 cin scanf 与cout printf 在关闭同步输入输出流的时候,混合使用会出错
- freopen("victoria2.in","r",stdin);
- // freopen("victoria2.out","w",stdout);
- int n,t,temp;
- // scanf("%d",&n);
- cin>>n; //这个地方用了cin流读入
- t=1;
- while(t<=n)
- {
- while(scanf("%d",&temp)) //这里使用标准scanf()读入,同时存在cin,scanf不能关闭输入输出流同步
- {
- if(!temp) break;
- point[t].push_back(temp);
- }
- ++t;
- }
- for(int i=1;i<=n;++i)
- {
- if(!DFS[i])
- {
- tarjan(i);
- }
- }
- // printf("%d\n",num);
- cout<<num<<endl;
- return 0;
- }
解法3:
求强连通分量算法Kosaraju,正反图双向搜索,寻找解答树
- #include<cstdio>
- #include<stack>
- #include<cstring>
- /*
- Kosaraju算法求连通分量,采用正反图双向DFS求连通分量。
- 根据:有向图的这样一个性质,一个图和他的transpose graph(边全部反向)具有相同的强连通分量。
- 算法求解步骤:
- 1.对G求解Reverse Post-Order,即得到顶点的"伪拓扑排序"
- 2.对G进行转置得到GR
- 3.按照第一步得到的集合中顶点出现的顺序,对GR调用DFS得到若干颗搜索树
- 4.每一颗搜索树就代表了一个强连通分量
- 这个算法的想法很巧妙,为了突出回向边,对图进行转置,然后对转置的图按照之前得到的顶点(拓扑)序列进行DFS调用。
- */
- //Map[][]原图关系,rMap[][]反图关系,pcolor[]顶点染色信息,Count连通分量的计数
- int Map[205][205],rMap[205][205],pcolor[205]={0},Count=0,N;
- std::stack<int> S;
- void dfs(int u) //正向染色,得到拓扑序列顶点集,存放在栈S
- {
- pcolor[u]=1;
- S.push(u);
- for(int v=1;v<=N;++v)
- {
- if(Map[u][v]==1&&!pcolor[v])
- dfs(v);
- }
- }
- void rdfs(int u) //反向调用,寻找解的搜索树
- {
- pcolor[u]=Count; //标记u属于连通分量的标号
- for(int v=1;v<=N;++v)
- {
- if(rMap[u][v]==1&&!pcolor[v])
- rdfs(v);
- }
- }
- int main()
- {
- freopen("victoria2.in","r",stdin);
- freopen("victoria2.out","w",stdout);
- scanf("%d",&N);
- int t=1;
- while(t<=N)
- {
- int temp;
- while(scanf("%d",&temp))
- {
- if(temp==0) break;
- Map[t][temp]=1;
- rMap[temp][t]=1;
- }
- ++t;
- }
- for(int i=1;i<=N;++i)
- {
- if(!pcolor[i]) dfs(i);
- }
- /*
- while(!S.empty())
- {
- printf("%d ",S.top());
- S.pop();
- }
- printf("\n");
- */
- memset(pcolor,0,sizeof(pcolor));
- while(!S.empty()) //根据正向生成顶点拓扑序列集,进行反向DFS调用,寻找解答搜索树
- {
- int x=S.top();
- S.pop();
- if(!pcolor[x])
- {
- ++Count;
- rdfs(x);
- }
- }
- printf("%d\n",Count);
- return 0;
- }
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