[bzoj3270] 博物馆 [期望+高斯消元]

题面

传送门

思路

本题的点数很少，只有20个

考虑用二元组$S=(u,v)$表示甲在$u$点，乙在$v$点的状态

那么可以用$f(S)$表示状态$S$出现的概率

不同的$f$之间的转移就是通过边

转移有4种情况

对于$S=(u,v)$来说，有以下四种转移：

转移一，甲乙都选择不动，此时从$S$转移到$S$，概率为$p[u]*p[v]$

转移二，甲动乙不动，此时从$S$转移到$S'=(u',v)$，其中$u'$是异于$u$并与$u$相连的点，概率为$\frac{1-p[u]}{deg[u]}*p[v]$，其中$deg[i]$表示$i$的度数

转移三，甲不动乙动，同转移二

转移四，甲乙都动，此时从$S$转移到$S'=(u',v')$，概率为$\frac{1-p[u]}{deg[u]}\ast\frac{1-p[v]}{deg[v]}$

写完转移，发现这个图因为是联通的，所以状态之间的转移会连成一个环

这时需要用到高斯消元

构建nn个nn元方程，每个未知数对应一种状态$S$，那么每一项的系数就是上述的转移概率了

需要注意的有两点

第一，$S=(u,u)$转移到自己是没有概率的，因为这个状态已经停下了，不会再转移了

第二，出发节点的那个方程表达式的值是1，代表一个初始元位置在出发点这里

Code

```cpp

include

include

include

include

include

include

define id(i,j) (i-1)*n+j

define ll long long

using namespace std;
inline int read(){
int re=0,flag=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){
if(ch=='-') flag=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return reflag;
}
double a[510][510],p[110],deg[110],go[110],ans[510];
int n,m,op1,op2,cnt;
int first[110],cnte;
struct edge{
int to,next;
}e[1010];
inline void add(int u,int v){
deg[u]++;deg[v]++;
e[++cnte]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnte;
e[++cnte]=(edge){u,first[v]};first[v]=cnte;
}
void Gauss(){
int i,j,k,num;double tmp;
for(i=1;i<=cnt;i++){
num=i;
for(j=i+1;j<=cnt;j++){
if(fabs(a[num][i])<fabs(a[j][i])) num=j;
}
if(num!=i) for(j=1;j<=cnt+1;j++) swap(a[i][j],a[num][j]);
for(j=i+1;j<=cnt;j++){
if(i!=j&&a[j][i]){
tmp=a[j][i]/a[i][i];
for(k=1;k<=cnt+1;k++) a[j][k]-=a[i][k]tmp;
}
}
}
for(i=cnt;i>=1;i--){
for(j=i+1;j<=cnt;j++) a[i][cnt+1]-=a[i][j]ans[j];
ans[i]=a[i][cnt+1]/a[i][i];
}
}
int main(){
memset(first,-1,sizeof(first));
n=read();m=read();op1=read();op2=read();int i,j,t1,t2,u1,u2,v1,v2,tid;cnt=nn;
for(i=1;i<=m;i++){
t1=read();t2=read();
add(t1,t2);
}
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]),go[i]=(1.0-p[i])/deg[i];
for(u1=1;u1<=n;u1++){
for(u2=1;u2<=n;u2++){
tid=id(u1,u2);
a[tid][tid]=-1;
if(u1!=u2) a[tid][tid]+=p[u1]p[u2];
for(i=first[u1];~i;i=e[i].next){
v1=e[i].to;if(v1==u2) continue;
a[tid][id(v1,u2)]=go[v1]p[u2];
}
for(i=first[u2];~i;i=e[i].next){
v2=e[i].to;if(v2==u1) continue;
a[tid][id(u1,v2)]=p[u1]go[v2];
}
for(i=first[u1];~i;i=e[i].next){
for(j=first[u2];~j;j=e[j].next){
v1=e[i].to;v2=e[j].to;if(v2==v1) continue;
a[tid][id(v1,v2)]=go[v1]go[v2];
}
}
}
}
a[id(op1,op2)][cnt+1]-=1;
Gauss();
for(i=1;i<=n;i++) printf("%.6lf ",ans[id(i,i)]);
}
···