$bzoj1016-JSOI2008$ 最小生成树计数 最小生成树 $dfs/matrix-tree$定理

• 题面描述
  • 现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生成树可能很多，所以你只需要输出方案数对\(31011\)的模就可以了。
• 输入格式
  • 第一行包含两个数，\(n\)和\(m\)，其中\(1\leq n\leq 10^2, 1\leq m\leq 10^3\) 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用\([1,n]\)的整数编号。接下来的\(m\)行，每行包含两个整数：\(a, b, c\)，表示节点\(a, b\)之间的边的权值为\(c\)，其中\(1\leq c\leq 10^9\)。数据保证不会出现自回边和重边。
  • 注意：具有相同权值的边不会超过\(10\)条。
• 输出格式
  • 输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对\(31011\)的模就可以了。
• 题解
  • 引理
    • 对于一张给定的无向图，权值相同的边在该无向图的最小生成树中数量相同，连接的集合相同（作用相同）
      • 证明：（数学归纳法）
        • 假设\(kruskal\)过程中当加入完一种权值的边，要加入下一种权值\(x\)的边时，对于权值为\(x\)的边所面对的集合相同。因为集合相同，故加入的边数相同。
        • 假设加入完权值为\(x\)的边后集合为\(S\)，边数为\(cnt\)，权值为\(x\)的边加入到最小生成树的边集的集合为\(in_x\)，没有加入边集的集合为\(out_x\)。
        • 想要让\(S\)产生变化，有三种情况：
          • 将 \(e\in in_x\) 从 \(in_x\) 中删除加入到\(out_x\)。
            • 但根据\(kruskal\)的算法，如果 存在 \(e'\) 使得两个原本不交的点集合并成一个点集，则该边\(e'\)必然加入\(in_x\)。因此\(e\)不可能从\(in_x\)中删除。
          • 将 \(e\in out_x\) 从 \(out_x\) 中删除加入到\(in_x\)中。
            • 同理，如果该边能够加入\(in_x\)，必然已经存在于\(in_x\)中了，因此\(\forall e\in out_x\)都不可能加入\(in_x\)
          • 将 \(e_1\in in_x\) 从 \(in_x\) 中删除加入到\(out_x\)中，将\(e_2\in out_x\)从\(out_x\)中删除加入到\(in_x\)中。
            • 假设如此操作能够改变\(S\)。设\(e_1\)原先连接的两个点集为\(S_{1,1},S_{1,2}\)，\(e_2\)原先连接的两个点集为\(S_{2,1},S_{2,2}\)。
            • 如果\(S_{1,1},S_{1,2}\)与\(S_{2,1},S_{2,2}\)不相同，\(e_2\)想要加入\(in_x\)中，必然要满足\(S_{2,1},S_{2,2}\)两个点集在原最小生成树上是两个不同的点集，而如果是这样的话，\(e_2\)必然已经被加入\(in_x\)中，而不可能存在于\(out_x\)中。
            • 如果\(S_{1,1},S_{1,2}\)与\(S_{2,1},S_{2,2}\)相同，如此操作对\(S\)无影响。
        • 因此对于权值\(x\)的边加入后的\(S'\)，无论权值\(x\)的边如何取，一定全部相同
        • 证毕
  • 因此我们可以将每种不同权值的边独立开来考虑，这时就有两种想法：
    • 先做一遍完整的\(kruskal\)求得每种权值的边在最小生成树出现的条数。再对于权值\(x\)的边我通过\(dfs\)求得所有合法加入方案，共\(cnt_x\)种。再用乘法原理的\(ans=\prod_{x}cnt_x\ \%mod​\)
    • 在做\(kruskal\)时对于权值\(x\)的边单独考虑，将加入权值\(x\)的边前的图缩点，连上所有权值\(x\)的边，跑\(matrix-tree\)定理，跑出所有生成树方案\(cnt_x\)。再用乘法原理的\(ans=\prod_{x}cnt_x\ \%mod\)
      • 注意：将权值\(x\)的边连进\(matrix-tree\)的\(mat\)中后，这个缩过点的图不一定连通，要加一些桥边（ 桥边 对 生成树方案个数 无贡献）保证图连通

\(dfs\)版

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e2+5;
const int MAXM=2e3+5;
const int mod=31011;
struct rec{
	int u,v,w;
} ed[MAXM];
int cnt[MAXM];
int n,m,tot,ans,sum;
int fa[MAXN];
bool use[MAXM];
bool cmp(rec a,rec b){ return a.w<b.w; }
int find(int x){ return fa[x]==x?x:find(fa[x]); }
void uion(int x,int y){ fa[find(x)]=find(y); }
void dfs(int stp,int l,int r,int now,int cnt){
	if (now==r+1){
//		cout<<stp<<" "<<cnt<<endl;
		if (stp==cnt) sum=(sum+1)%mod;
		return;
	}
	int u=ed[now].u,v=ed[now].v;
	int fu=find(u),fv=find(v);
	if (fu!=fv){
		fa[fu]=fv;
		dfs(stp+1,l,r,now+1,cnt);
		fa[fu]=fu; fa[fv]=fv;
	}
	dfs(stp,l,r,now+1,cnt);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		ed[i]=(rec){u,v,w};
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
	int res=0;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		if (ed[i].w!=ed[i-1].w) res++;
		int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
		if (find(u)==find(v)) continue;
		cnt[res]++; uion(u,v); tot++;
	}
	if (tot!=n-1) return printf("0\n"),0;
	for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	ans=res=1;
	for (int l=1,r=1;l<=m;l=r+1,r++,res++){
		while (ed[l].w==ed[r].w) r++;
		r--; sum=0;
		dfs(0,l,r,l,cnt[res]);
//		cout<<l<<" "<<r<<" "<<cnt[res]<<" "<<sum<<endl;
		ans=ans*sum%mod;
		for (int i=l;i<=r;i++){
			int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
			if (find(u)==find(v)) continue;
			uion(u,v);
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

\(matrix-tree\)版

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e2+5;
const int MAXM=1e3+5;
const int mod=31011;
struct rec{
	int u,v,w;
} ed[MAXM];
int n,m,ans=1,tot;
int fa[MAXN];
int use[MAXN];
int mat[MAXN][MAXN];
int ffa[MAXN];
bool cmp(rec a,rec b){ return a.w<b.w; }
int find(int x){ return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]); }
void uion(int x,int y){ fa[find(x)]=find(y); }
int ffind(int x){ return ffa[x]==x?x:ffa[x]=ffind(ffa[x]); }
void fuion(int x,int y){ ffa[ffind(x)]=ffind(y); }
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		ed[i]=(rec){u,v,w};
	}
	sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for (int l=1,r=1;l<=m;l=r+1,r++){
		while (ed[l].w==ed[r].w) r++;
		r--;
//		cout<<l<<" "<<r<<endl;
		memset(mat,0,sizeof(mat));
		memset(use,0,sizeof(use));
		bool flag=0;
		int cnt=0;
		for (int i=l;i<=r;i++){
			int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
			int fu=find(u),fv=find(v);
			if (!use[fu]) use[fu]=++cnt;
			if (!use[fv]) use[fv]=++cnt;
		}
		for (int i=1;i<=cnt;i++) ffa[i]=i;
		for (int i=l;i<=r;i++){
			int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
			int fu=find(u),fv=find(v);
			if (fu!=fv) flag=1;
			fu=use[fu]; fv=use[fv];
			fuion(fu,fv);
			mat[fu][fv]--; mat[fv][fu]--;
			mat[fu][fu]++; mat[fv][fv]++;
		}
		for (int i=2;i<=cnt;i++){
			int fu=ffind(i-1),fv=ffind(i);
			if (fu!=fv){
				fuion(i-1,i);
				mat[fu][fv]--; mat[fv][fu]--;
				mat[fu][fu]++; mat[fv][fv]++;
			}
		}
		cnt--;
/*		for (int i=1;i<=cnt;i++){
			for (int j=1;j<=cnt;j++) cout<<mat[i][j]<<" ";
			cout<<endl;
		}
		cout<<endl;
*/		int ret=1;
		for (int i=1;i<=cnt;i++){
			int pos=i;
			for (int j=i+1;j<=cnt;j++){
				if (mat[j][i]) pos=j;
			}
			for (int j=1;j<=cnt;j++) swap(mat[i][j],mat[pos][j]);
			if (pos!=i) ret=-ret;
			for (int j=i+1;j<=cnt;j++){
				while (mat[j][i]){
					int t=mat[j][i]/mat[i][i];
					for (int k=1;k<=cnt;k++){
						mat[j][k]=(mat[j][k]-t*mat[i][k])%mod;
					}
					if (!mat[j][i]) break;
					ret=-ret;
					for (int k=1;k<=cnt;k++) swap(mat[j][k],mat[i][k]);
				}
			}
			ret=ret*mat[i][i]%mod;
		}
/*		for (int i=1;i<=cnt;i++){
			for (int j=1;j<=cnt;j++) cout<<mat[i][j]<<" ";
			cout<<endl;
		}
*/		ret=(ret%mod+mod)%mod;
//		cout<<ret<<endl;
		if (flag) ans=ans*ret%mod;
		for (int i=l;i<=r;i++){
			int u=ed[i].u,v=ed[i].v;
			int fu=find(u),fv=find(v);
			if (fu==fv) continue;
			uion(u,v); tot++;
		}
	}
	if (tot!=n-1) return printf("0\n"),0;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}