AC自动机学习小结
AC自动机
简要说明
- \(AC\) 自动机,全称 \(Aho-Corasick\ automaton\) ,是一种有限状态自动机,应用于多模式串匹配.在 \(OI\) 中通常搭配 \(dp\) 食用.因为它是状态自动机.
- 感性理解:在 \(Trie\) 树上加上 \(fail\) 指针.具体的讲解可以去看dalao们的博客(因为我实在是太菜了讲不好).
题目
Keywords Search
- 题目:给若干个模式串,再给一个文本串,问有几个模式串在文本串中出现过.
- 板子题.注意一个模式串只被计算一次,统计后做上标记.
- 这里采用的是补全 \(Trie\) 树的写法.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=5e5+10;
const int Siz=26;
struct AhoCorasick{
int idx;
int ch[MAXN][Siz];
int fail[MAXN];
int val[MAXN];
void init()
{
idx=0;
memset(val,0,sizeof val);
memset(ch,0,sizeof ch);
memset(fail,0,sizeof fail);
}
AhoCorasick()
{
init();
}
void ins(char s[],int n)
{
int u=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
int k=s[i]-'a';
if(!ch[u][k])
ch[u][k]=++idx;
u=ch[u][k];
}
++val[u];
}
void getfail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<Siz;++i)
if(ch[0][i])
q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
if(ch[u][i])
{
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q.push(ch[u][i]);
}
else
ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
int query(char s[],int n)
{
int u=0,res=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
int k=s[i]-'a';
u=ch[u][k];
for(int j=u;j && val[j]!=-1;j=fail[j])
res+=val[j],val[j]=-1;
}
return res;
}
}ac;
char buf[MAXN<<1];
int main()
{
int T=read();
while(T--)
{
ac.init();
int n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%s",buf);
ac.ins(buf,strlen(buf));
}
ac.getfail();
scanf("%s",buf);
int ans=ac.query(buf,strlen(buf));
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
玄武密码
- 题意:给若干模式串和一个文本串.求每个模式串在文本串上能匹配的最大前缀长度.
- 将模式串建成一个 \(AC\) 自动机,匹配文本串的时候往前暴力跳,跳到第一个合法的位置即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=1e7+10;
const int Siz=4;
int n,m;
int len[MAXN];
struct AhoCorasick{
int idx;
inline int id(char x)
{
if(x=='E')
return 0;
if(x=='W')
return 1;
if(x=='N')
return 2;
return 3;
}
int ch[MAXN][Siz];
int fail[MAXN];
int marked[MAXN];
int f[MAXN];
int val[MAXN];
AhoCorasick()
{
idx=0;
memset(fail,0,sizeof fail);
memset(ch,0,sizeof ch);
memset(marked,0,sizeof marked);
memset(val,0,sizeof val);
}
void ins(char s[],int v)
{
int u=0;
for(int i=0;i<len[v];++i)
{
int k=id(s[i]);
if(!ch[u][k])
{
f[++idx]=u;
ch[u][k]=idx;
}
u=ch[u][k];
}
val[v]=u;
}
void getfail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<Siz;++i)
if(ch[0][i])
q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
if(ch[u][i])
{
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q.push(ch[u][i]);
}
else
ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
void mark(char *s)
{
int u=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
int k=id(s[i]);
u=ch[u][k];
for(int j=u;j;j=fail[j])
{
if(marked[j])
break;
marked[j]=1;
}
}
}
int work(int x)
{
int ans=len[x];
for(int i=val[x];i;i=f[i],ans--)
if(marked[i])
return ans;
}
}ac;
char buf[110];
char s[MAXN];
int main()
{
n=read(),m=read();
scanf("%s",s);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%s",buf);
len[i]=strlen(buf);
ac.ins(buf,i);
}
ac.getfail();
ac.mark(s);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int ans=ac.work(i);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
Censoring
- 题意:给若干模式串和一个文本串.每次从文本串开头找到一个模式串,将其删去,直到无法删去为止,求出最后剩余的文本.保证任一个模式串中没有其他模式串.
- 将模式串建成一个 \(AC\) 自动机,用一个栈来维护当前剩余的字符.匹配成功时直接修改栈顶.同时需要维护每个节点在 \(Trie\) 树上的位置.这样删除后可以立即得出当前的位置 \(u\) .
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=1e5+10;
const int Siz=26;
int len[MAXN];
struct AhoCorasick{
int idx;
int ch[MAXN][Siz];
int fail[MAXN];
int val[MAXN];
AhoCorasick()
{
idx=0;
memset(ch,0,sizeof ch);
memset(fail,0,sizeof fail);
memset(val,0,sizeof val);
}
void ins(char *s,int n,int v)
{
int u=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
int k=s[i]-'a';
if(!ch[u][k])
ch[u][k]=++idx;
u=ch[u][k];
}
val[u]=v;
}
void getfail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<Siz;++i)
if(ch[0][i])
q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
if(ch[u][i])
{
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q.push(ch[u][i]);
}
else
ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
void solve(char *s,int n)
{
int u=0;
char stk[MAXN];
int tp=0;
int lst[MAXN];
for(int i=0;i<n;++i)
{
int k=s[i]-'a';
stk[++tp]=s[i];
lst[tp]=ch[u][k];
if(val[lst[tp]])
tp-=val[lst[tp]];
u=lst[tp];
}
for(int i=1;i<=tp;++i)
printf("%c",stk[i]);
puts("");
}
}ac;
char buf[MAXN];
char s[MAXN];
int main()
{
scanf("%s",s);
int n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%s",buf);
int len=strlen(buf);
ac.ins(buf,len,len);
}
ac.getfail();
ac.solve(s,strlen(s));
return 0;
}
单词
- 题意:给出一个由若干单词组成的单词表,问每个单词在这个表中出现了几次.
- 很像一个 \(kmp\) 或是 \(AC\) 自动机裸题,然而并没有那么简单.用自动机做 \(n\) 次匹配,可能会被卡掉.如果一直跳 \(fail\) 指针,就可以构造一组数据让你一直跳.
- 正确的做法是使用 \(fail\) 树,连出这样所有的有向边 \(fail[x]->x\) .自动机上,每个节点都代表了一个前缀,连出边后,可以发现父亲节点是儿子节点的后缀.
- 而一个字符串被匹配的次数恰好等于以它为后缀的前缀数目,即 \(fail\) 树中子树的大小.
- 插入字符串的时候将经过的每个节点的权值 \(+1\) ,最后 \(dfs\) 统计即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=1e6+10;
const int Siz=26;
int n;
struct AhoCorasick{
int idx;
int ch[MAXN][Siz];
int fail[MAXN];
int pos[MAXN];
int val[MAXN];
int ecnt;
int head[MAXN],to[MAXN],nx[MAXN],siz[MAXN];
AhoCorasick()
{
idx=0;
ecnt=0;
memset(ch,0,sizeof ch);
memset(fail,0,sizeof fail);
memset(val,0,sizeof val);
memset(head,0,sizeof head);
}
void ins(char *s,int len,int v)
{
int u=0;
for(int i=0;i<len;++i)
{
int k=s[i]-'a';
if(!ch[u][k])
ch[u][k]=++idx;
u=ch[u][k];
++val[u];
}
pos[v]=u;
}
void addedge(int u,int v)
{
++ecnt;
nx[ecnt]=head[u];
to[ecnt]=v;
head[u]=ecnt;
}
void getfail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<Siz;++i)
if(ch[0][i])
q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
addedge(fail[u],u);
q.pop();
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
if(ch[u][i])
{
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q.push(ch[u][i]);
}
else
ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
void dfs(int u)
{
siz[u]=val[u];
for(int i=head[u];i;i=nx[i])
{
int v=to[i];
dfs(v);
siz[u]+=siz[v];
}
}
void pr()
{
for(int i=1;i<=n;++i)
printf("%d\n",siz[pos[i]]);
}
}ac;
char buf[MAXN];
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%s",buf);
ac.ins(buf,strlen(buf),i);
}
ac.getfail();
ac.dfs(0);
ac.pr();
return 0;
}
病毒
- 题意:给出若干个 \(01\) 串,问是否存在一个无限长的 \(01\) 串,满足所有给出的串都不是它的子串.
- 将给出的串插入到 \(AC\) 自动机里,那么若存在一个环,环上的节点及它们沿 \(fail\) 指针向上跳都不经过单词末节点,则符合要求.
- 插入的时候将权值一起合并,最后做一次 \(dfs\) 即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=3e4+10;
const int Siz=2;
struct AhoCorasick{
int idx;
int ch[MAXN][Siz];
int fail[MAXN];
int val[MAXN];
AhoCorasick()
{
idx=0;
memset(ch,0,sizeof ch);
memset(val,0,sizeof val);
memset(fail,0,sizeof fail);
}
void ins(char *s,int len)
{
int u=0;
for(int i=0;i<len;++i)
{
int k=s[i]-'0';
if(!ch[u][k])
ch[u][k]=++idx;
u=ch[u][k];
}
val[u]=1;
}
void getfail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<Siz;++i)
if(ch[0][i])
q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
if(ch[u][i])
{
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
val[ch[u][i]]|=val[ch[fail[u]][i]];
q.push(ch[u][i]);
}
else
ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
int vis[MAXN],inc[MAXN];
int dfs(int u)
{
inc[u]=1;
int v;
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
v=ch[u][i];
if(inc[v])
return 1;
if(vis[v] || val[v])
continue;
vis[v]=1;
if(dfs(v))
return 1;
}
inc[u]=0;
return 0;
}
void solve()
{
memset(vis,0,sizeof vis);
memset(inc,0,sizeof inc);
if(dfs(0))
puts("TAK");
else
puts("NIE");
}
}ac;
int n;
char buf[MAXN];
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%s",buf);
ac.ins(buf,strlen(buf));
}
ac.getfail();
ac.solve();
return 0;
}
文本生成器
- 题意:给出若干个由大写字母构成的单词,问长度为 \(m\) ,由大写字母构成的字符串中,包含至少一个单词的数目.对 \(10007\) 取模.
- 可以先求出不包含任意一个单词的字符串数目,再用总数目\(26^m\)减去.
- 将单词建成一个 \(AC\) 自动机,类似上题,合并权值即可求出一个节点是否能被走到.
- 用 \(f[i][j]\) 表示已经走了 \(i\) 步,走到了节点 \(j\) 时的方案数. \(O(n^2)\ dp\) 即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int P=1e4+7;
inline int add(int a,int b)
{
return (a+b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
return a * b % P;
}
int fpow(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)
res=mul(a,res);
a=mul(a,a);
b>>=1;
}
return res;
}
const int MAXN=7777;
const int Siz=26;
int n,m;
struct AhoCorasick{
int idx;
int ch[MAXN][Siz];
int fail[MAXN];
int val[MAXN];
int f[101][MAXN];
AhoCorasick()
{
idx=0;
memset(ch,0,sizeof ch);
memset(fail,0,sizeof fail);
memset(val,0,sizeof val);
memset(f,-1,sizeof f);
}
void ins(char *s,int len)
{
int u=0;
for(int i=0;i<len;++i)
{
int k=s[i]-'A';
if(!ch[u][k])
ch[u][k]=++idx;
u=ch[u][k];
}
val[u]=1;
}
void getfail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<Siz;++i)
if(ch[0][i])
q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<Siz;++i)
{
if(ch[u][i])
{
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
//val[ch[u][i]]|=fail[ch[u][i]];
q.push(ch[u][i]);
}
else
ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
val[u]|=val[fail[u]];//注意.
}
}
int dfs(int i,int j)//已经走了i步,在节点j
{
if(f[i][j]!=-1)
return f[i][j];
if(val[j])
return 0;
if(i==m)
return 1;
int &res=f[i][j];
res=0;
for(int k=0;k<Siz;++k)
{
res=add(res,dfs(i+1,ch[j][k]));
}
return res;
}
void solve()
{
int ans=fpow(26,m);
ans=add(ans,P-dfs(0,0));
printf("%d\n",ans);
}
}ac;
char buf[MAXN];
int main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%s",buf);
ac.ins(buf,strlen(buf));
}
ac.getfail();
ac.solve();
return 0;
}
小结
- \(AC\) 自动机可以解决一部分多模式串有关问题.其附带品 \(fail\) 树也有不错的性质.
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