uva 1500 - Alice and Bob(论证)

option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4246" target="_blank" style="">题目连接：uva 1500 - Alice and Bob

题目大意：在黑板上又一个序列，每次操作能够选择一个数减1，或者是合并两个数，一个数被减至1则自己主动消除，不能操作者输。

解题思路：结论，对于大于1的数能够看成是一个整数s，为消除他们的总操作步数,包含减1以及合并。c为列中1的个数，假设s>2的话，c或者是s为奇数则为必胜，否则必败。若s≤2的话（s=2或者s=0）是。推断c是否为3的倍数，是的话必败，不是的话必胜。

证明：s>2时。s和c均为偶数是为必败态。

s为奇数，c为偶数：先手操作，将s减1。转移至必败态。

s为偶数。c为奇数：先手操作，将一个1减1，则c会降低1，转移至必败态。

s为奇数，c为奇数：将一个1和s中的一个数合并。

转移至必败态。

s为偶数。c为偶数：s减1。则s为奇数c为偶数，必胜态。c减1，则s为偶数c为奇数。必胜态；合并1和非1数，s奇数c奇数，必胜态；

s==0或者s==2时，当c%3==0时，为必败态。

c%3==1时，将一个1减1，c%3==0，转移至必败态。

c%3==2时，对于s==0，合并两个1，则变为s+2，c-2。此时假设s==0，则变为s==2时。c%3==0的必败态。对于s==2。将s减1，则变为s变为1，于是1的个数又添加1，所以c%3==0，必败态。

c%3==0时。减掉一个1即为必胜态。

/******************
 * c为1的个数，s为其它非1的总步数，包含合并。
 * s > 2时，c若为奇数则必胜。为偶数则s为奇数时必胜；
 * s == 2 || s == 0时。c不为3的倍数时必胜
******************/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, c, s, x;

void init () {
    c = s = 0;
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        if (x == 1)
            c++;
        else if (x > 1)
            s += (x + 1);
    }

    if (s)
        s--;
}

bool judge () {
    if (s > 2)
        return (c&1) || (s&1);
    if (s == 0)
        return c % 3;
    return c % 3;
}

int main () {
    int cas;
    scanf("%d", &cas);
    for (int k = 1; k <= cas; k++) {
        init();
        printf("Case #%d: %s\n", k, judge() ?

"Alice" : "Bob");
    }
    return 0;
}

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