生成学习算法(Generative Learning algorithms)

一、引言

前面我们谈论到的算法都是在给定$x$的情况下直接对$p(y|x;\theta)$进行建模。例如，逻辑回归利用$h_\theta(x)=g(\theta^T x)$对$p(y|x;\theta)$建模，这类算法称作判别学习算法。

考虑这样一个分类问题，我们根据一些特征来区别动物是大象$(y=1)$还是狗$(y=0)$。给定了这样一个训练集，逻辑回归或感知算法要做的就是去找到一个决策边界，将大象和狗的样本分开来。可以换个思路，首先根据大象的特征来学习出一个大象的模型，然后根据狗的特征学习出狗的模型，对于一个新的样本，提取它的特征先放到大象的模型中求得是大象的概率，然后放到狗的模型中求得是狗的概率，最后我们比较两个概率哪个大，即确定这个动物是哪种类型。也即求$p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}$，$y$为输出结果，$x$为特征。

现在我们来定义这两种解决问题的方法：

判别学习算法（discriminative learning algorithm）：直接学习$p(y|x)$或者是从输入直接映射到输出的方法

生成学习算法（generative learning algorithm）：对$p(x|y)$(也包括$p(y))$进行建模。

$y$为输出变量，值为0或1，如果是大象取1，狗则取0

$p(x|y = 0)$：对狗的特征进行建模

$p(x|y = 1)$：对大象的特征建模

对$p(x|y)$和$p(y)$完成建模后，运用贝叶斯公式，就可以求得在给定$x$的情况下$y$的概率：

\[p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}\]

\[p(x) = p(x|y = 1)p(y = 1) + p(x|y =0)p(y = 0)\]

由于我们关心的是$y$离散结果中哪一个的概率更大，而不是要求得具体的概率，所以上面的公式我们可以表达为：

\begin{align*} arg\,\underset{y}{max}p(y|x) &=arg\,\underset{y}{max}\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)} \\

&=arg\,\underset{y}{max}p(x|y)p(y) \end{align*}

$arg\,\underset{y}{max}p(y|x)$的含义：满足条件的最大$y$值。对$y$求取最大值，与$p(x)$无关，所以可以不需要计算$p(x)$了

常见的生成模型有：隐马尔可夫模型HMM、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型GMM、LDA等

二、高斯判别分析(Gaussian Discriminant Analysis)

下面介绍第一个生成学习算法GDA。在GDA中，假设$x \in R^n$且是连续的，且$p(x|y)$满足多项正态分布。

2.1 多项正态分布(The multivariate normal distribution)

假设随机变量$X$满足$n$维的多项正态分布，参数为均值向量$\mu\in R^n$，协方差矩阵$\Sigma \in R^{n\times n}$，记为$N(\mu,\Sigma)$其概率密度表示为：

\[p(x;\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\bigg)\]

$det\Sigma$表示矩阵$\Sigma$的行列式(determinant)。

均值向量：$\mu$

协方差矩阵:$\Sigma=E[(X-E[X])(X-E[X])^T]=E[(x-\mu)(x-\mu)^T]$

接下来我们用matlab来画一下二维正态分布的图像，我们可以调整均值和协方差矩阵来观察图像。

代码：

mu=[0 0];

sigma=[1.0 0;0 1.0];

[x y]=meshgrid(linspace(-3,3,40)',linspace(-3,3,40)');

X=[x(:) y(:)];

z=mvnpdf(X,mu,sigma);

surf(x,y,reshape(z,40,40));

hold on;

figure;

contour(x,y,reshape(z,40,40));

$\mu$决定中心位置，$\Sigma$决定投影椭圆的朝向和大小。

2.2高斯判别分析模型(The Gaussian Discriminant Analysis model)

现在有一个分类问题，训练集的特征值$x$是随机连续值，那么我们可以利用高斯判别分析模型，假设$p(x|y)$满足多值正态分布，即：

\[y \sim Bernoulli(\phi)\]

\[x|y=0 \sim N(\mu_0, \Sigma)\]

\[x|y=1 \sim N(\mu_1, \Sigma)\]

概率分布为：

\[p(y) = \phi^y(1-\phi)^{1-y}\]

\[p(x|y=0) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_0)\bigg)\]

\[p(x|y=1) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_1)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_1)\bigg)\]

模型参数为$\phi, \Sigma, \mu_0, \mu_1$，对数似然函数为：

\[l(\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)},y^{(i)};\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)}|y^{(i)};\mu_0,\mu_1,\Sigma)p(y^{(i)};\phi)\]

注意这里的参数有两个$\mu$，表示在不同的结果模型下，特征均值不同，但我们假设协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同，但形状相同。这样就可以用直线来进行分隔判别。

求得所有的参数：

\[\phi = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}\]

\[\mu_0=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}}\]

\[\mu_1=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}}\]

\[\Sigma = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})^T\]

$\phi$是训练样本中结果$y=1$占有的比例。
$\mu_0$是$y=0$的样本中特征均值。
$\mu_1$是$y=1$的样本中特征均值。
$\Sigma$是样本特征方差均值。

所以通过上面所述，画出图像如下图：

直线两边的$y$值不同，但协方差矩阵相同，因此形状相同,$\mu$不同，因此位置不同。

2.3讨论GDA和逻辑回归(Discussion: GDA and logistic regression)

现在我们把$p(y = 1|x; \phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma)$看成是$x$的函数，则可以表达为：

\[p(y=1|x;\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1)=\frac{1}{1+exp(-\theta^Tx)}\]

$\theta$ 是参数$\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1$的函数，这正是逻辑回归的形式。

逻辑回归和GDA在训练相同的数据集的时候我们得到两种不同的决策边界，那么怎么样来进行选择模型呢：

上面提到如果$p(x|y)$是一个多维的高斯分布，那么$p(y|x)$可以推出一个logistic函数；反之则不一定正确，$p(y|x)$是一个logistic函数并不能推出$p(x|y)$服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.

如果$p(x|y)$真的服从或者趋近于服从高斯分布，则GDA比logistic回归效率高.

当训练样本很大时，严格意义上来说并没有比GDA更好的算法（不管预测的多么精确）.

事实证明即使样本数量很小，GDA相对logisic都是一个更好的算法.

但是，logistic回归做了更弱的假设，相对于不正确的模型假设，具有更好的鲁棒性（robust）.许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说，如果$x|y=0 \sim Poisson(\lambda_0)$,$x|y=1 \sim Poisson(\lambda_1)$那么$p(y|x)$是logistic。

logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型，把高斯分布应用于并不是高斯数据中，结果是不好预测的，GDA就不是很好了.

三：朴素贝叶斯(Naive Bayes)

在GDA中，特征向量$x$是连续的实数向量，那么现在谈论一下当$x$是离散时的情况。

我们沿用对垃圾邮件进行分类的例子，我们要区分邮件是不是垃圾邮件。分类邮件是文本分类的一种应用

将一封邮件作为输入特征向量，与现有的字典进行比较，如果在字典中第i个词在邮件中出现，则$x_i=1$，否则$x_i=0$，所以现在我们假设输入特征向量如下：

选定特征向量后，现在要对$p(x|y)$进行建模：

假设字典中有50000个词，$x \in \{0, 1\}^{50000}$如果采用多项式建模，将会有$2^{50000}$种结果，$2^{50000}-1$维的参数向量，这样明显参数过多。所以为了对$p(x|y)$建模，需要做一个强假设，假设$x$的特征是条件独立的，这个假设称为朴素贝叶斯假设(Naive Bayes (NB) assumption),这个算法就称为朴素贝叶斯分类(Naive Bayes classifier).

解释：
如果有一封垃圾邮件$(y=1)$,在邮件中出现buy这个词在2087这个位置,它对39831这个位置是否出现price这个词没有影响，也就是，我们可以这样表达$p(x_{2087}|y)=p(x_{2087}|y,x_{39831})$,这个和$x_{2087}$和$x_{39831}$相互独立不同，如果相互独立，则可以写为$p(x_{2087})=p(x_{2087}|x_{39831})$，我们这里假设的是在给定y的情下，$x_{2087}$和$x_{39831}$独立。

现在我们回到问题中，在做出假设后，可以得到：

解释
第一个等号用到的是概率的性质链式法则
第二个等式用到的是朴素贝叶斯假设
朴素贝叶斯假设是约束性很强的假设，一般情况下 buy和price是有关系的，这里我们假设的是条件独立，独立和条件独立不相同

模型参数：

\[\phi_{i|y=1}=p(x_i=1|y=1)\]

\[\phi_{i|y=0}=p(x_i=1|y=0)\]

\[\phi_y=p(y=1)\]

对于训练集{(x⁽ⁱ⁾ , y⁽ⁱ⁾); i =1, . . . , m}，根据生成学习模型规则，联合似然函数(joint likelihood)为：

得到最大似然估计值：

最后一个式子是表示$y=1$的样本数占全部样本数的比例，前两个表示在$y=1$或$y=0$的样本中，特征$x_j=1$的比例。

拟合好所有的参数后，如果我们现在要对一个新的样本进行预测，特征为x，则有：

实际上只要比较分子就行了，分母对于y = 0和y = 1是一样的，这时只要比较p(y = 0|x)与p(y = 1|x)哪个大就可以确定邮件是否是垃圾邮件。

3.1拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)

朴素贝叶斯模型可以在大部分情况下工作良好。但是该模型有一个缺点：对数据稀疏问题敏感。

　　比如在邮件分类中，对于低年级的研究生，NIPS显得太过于高大上，邮件中可能没有出现过，现在新来了一个邮件"NIPS call for papers"，假设NIPS这个词在词典中的位置为35000，然而NIPS这个词从来没有在训练数据中出现过，这是第一次出现NIPS，于是算概率时：

由于NIPS从未在垃圾邮件和正常邮件中出现过，所以结果只能是0了。于是最后的后验概率：

对于这样的情况，我们可以采用拉普拉斯平滑，对于未出现的特征，我们赋予一个小的值而不是0。具体平滑方法为：

假设离散随机变量取值为{1,2,···,k}，原来的估计公式为：

使用拉普拉斯平滑后，新的估计公式为：

即每个k值出现次数加1，分母总的加k，类似于NLP中的平滑，具体参考宗成庆老师的《统计自然语言处理》一书。

　　对于上述的朴素贝叶斯模型，参数计算公式改为：