Representation Data in OpenCascade BRep

eryar@163.com

摘要Abstract:现在的显示器大多数是光栅显示器,即可以看做一个像素的矩阵。在光栅显示器上显示的任何图形,实际上都是一些具有一种或多种颜色的集合。数学上精确表示的图形在显示器中只能用逼近的方式显示出来。本文主要对OpenCascade的BRep文件中用来显示曲线和曲面的离散数据结构进行说明。

关键字:OpenCascade, BRep, Polygon, Triangulation, Subdivision Curves,

一、引言 Introduction

光栅图形显示器可以看做一个像素矩阵。在光栅显示器上显示的任何一种图形,实际上都是一些具有一种或多种颜色的像素的集合。在数学上,理想的曲线是没有宽度的,它是由无数个点构成的集合,而当要显示曲线时,就不能用无数个点在显示器中显示,必须对其进行离散化,即细分处理。考虑性能要求,需要用尽可能少的点来显示曲线。对于曲面也是一样,虽然已经有曲面的数学解析表示,但是需要在显示器中显示时,必须对其离散化,即三角剖分得到的逼近曲面的三角网格。

在OpenCascade中已经有曲线和曲面的精确的数学解析表达形式的类,如下图所示:

Figure 1.1 Parametric geometry curves

Figure 1.2 Parametric geometry surfaces

在OpenGL中显示这些曲线和曲面时,不能直接显示出由参数方程精确表示的曲线和曲面,必须对曲线和曲面进行细分,即离散化,得到OpenGL显示用的点和三角网格。

在OpenCascade中使用类Poly_Polygon3D/Poly_Polygon2D来保存多段线的数据,即可以用来保存逼近显示由参数方程精确表示的曲线的离散点数据。

在OpenCascade中使用类Poly_Triangulation来保存网格数据,即用三角网格来逼近表示的曲面,或更通用的一个形状。

形状的离散化由函数BRepMesh::Mesh()来统一处理,处理后就可以得到形状用来显示的多段线和三角网格数据。有了这些离散数据,不管是将形状交给显示模块进行显示,还是将形状在其他显示引擎中显示,就很方便了。

在OpenCascade的BRep中也保存了形状的用来显示用的离散数据,即多段线和三角网格。只有经过BRepMesh::Mesh()离散化之后,形状才具有这些数据。

二、细分曲线 Subdivision of Curves

在前面的一篇文章《在OpenSceneGraph中绘制OpenCascade的曲线 》中对曲线的显示使用了统一细分处理(uniform subdivision),即将曲线在整个参数区域内均分后得到一些线段来显示。没有考虑这样的问题:在曲线很平的区域内,就会存在冗余的点;在曲线曲度很大的区域内,可能点的数量还不足以显示出光滑的曲线。自适应细分(Adaptive Subdivision)的方法就是将点放在最需要的地方,其主要目的是可视化曲线时更高效的渲染。通常这种方法主要用于游戏,因为其显示更高效,性能更好。

Figure 2.1 Uniform sampling on a curve

如上图所示,统一采样来绘制曲线时,通常会在直线段区域生成很多多余的点,而在曲线区域的点太少,不能表示出光滑的曲线。自适应细分曲线有很多种方法,每种方法都会考虑速度、效率和精度,即如何用最少的点精确地表示出曲线。当你理解这个基本概念后,也可以对其他方法进行研究。

在OpenCascade中对曲线的细分使用的类是GCPnts_TangentialDeflection,其算法描述如下,感兴趣的读者可以结合源程序对其算法实现进行研究:

其中各个点的横坐标对应的参数分别为:

从上述公式结合向量的数量积公式可以看出,约束条件是两个向量夹角的余弦值分别小于角度偏差和曲率偏差。算法将产生满足约束条件的曲线上的最少数量的点。

细分曲线后的点保存在类Poly_Polygon3D中。在BRep中也保存有多段线数据,如下所示:

示例:

BNF定义:

详细说明:

<3D polygon record>定义了空间多段线(3D polyline)L,用来逼近空间参数曲线C。多段线的数据包含节点数m>=2,参数显示标志位p,逼近偏差(deflection)d>=0,节点Ni(1=<i<=m),参数ui(1=<i<=m)。当参数显示标志位p=1时,参数u才会显示。多段线L通过这些节点,多段线L逼近曲线C的逼近偏差定义如下所示:

参数ui(1=<i<=m)是曲线C上通过节点Ni的参数值:

示例数据表示的多段线为:m=2,参数显示标志位p=1,逼近偏差d=0.1,节点N1=(1,0,0),N2=(2,0,0),参数u1=0,u2=1。

三、细分曲面 Subdivision of surfaces

我们知道使用参数方程可以精确表示出三维曲线和曲面,但是参数方程表示的曲线曲面并不能直接交给OpenGL直接显示出来。为此,图形学中广泛使用三角网格来表达三维模型,即用三角形组成的面片列表来近似逼近表示三维模型。

Figure 3.1 Triangulation of Chinese Dragon

用三角网格表示的曲面需要解决几个问题:三角网格的产生、描述、遍历、简化和压缩等。在OpenCascade中三角网格的产生使用算法Delaunay三角剖分算法生成网格数据,网格的描述使用类Poly_Triangulation。BRep文件中也保存三角网格的数据,如下所示:

示例:

BNF定义:

详细说明:

<triangulation record>定义了逼近曲面S的三角剖分T(triangulation)。三角剖分的数据包含节点数m>=3,三角形数k>=1,参数显示标志位p,逼近偏差d>=0,节点Ni(1<=i<=m),参数对ui,vi(1<=i<=m),三角形nj,1,nj,2,nj,3。参数只有当参数显示标志位p=1时才显示。三角剖分逼近曲面的偏差d定义如下所示:

参数对ui,vi描述了曲面S上过节点Ni的参数:

三角形nj,1, nj,2, nj,3用来取得三角形的三个顶点值Nnj,1,Nnj,2,Nnj,3,节点遍历的顺序就是Nnj,1,Nnj,2,Nnj,3。从三角剖分T的任意一侧遍历,所有三角形都有相同的方向:顺时针或逆时针。

三角剖分中的三角形数据:

表示的三角剖分为:m=4个节点,k=2个三角形,参数显示标志位p=1,逼近偏差d=0,节点N1(0,0,0),N2(0,0,3),N3(0,2,3),N4(0,2,0),参数值(u1,v1)=(0,0),(u2,v2)=(3,0),(u3,v3)=(3,-2),(u4,v4)=(0,-2)。从点(1,0,0)((-1,0,0)),三角形是顺时针(逆时针)的。

四、程序示例 Code Example

通过创建多段线和三角网格数据并将其输出,可以理解BRep文件中用来显示的离散的数据结构。程序示例如下所示:

/*
* Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : eryar@163.com
* Date : 2013-12-12 21:46
* Version : 1.0v
*
* Description : There are two kind of data for shape representation
* of the BRep file of OpenCascade. One is Polyline to
* approximates a 3D curve; the other is triangulations
* to approximates a surface.
*
* KeyWords : OpenCascade, BRep File, Polygon, Triangulation
*
*/ #define WNT
#include <TColStd_Array1OfReal.hxx>
#include <TColgp_Array1OfPnt.hxx>
#include <TColgp_Array1OfPnt2d.hxx> #include <Poly.hxx>
#include <Poly_Polygon3D.hxx>
#include <Poly_Array1OfTriangle.hxx>
#include <Poly_Triangulation.hxx> #pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib") int main(void)
{
// 3D Polygons:
// Polygon3D 1
// 2 1
// 0.1
// 1 0 0 2 0 0
// 0 1
TColStd_Array1OfReal parameters(, );
TColgp_Array1OfPnt nodes(, );
Handle_Poly_Polygon3D polyline; nodes.SetValue(, gp_Pnt(, , ));
nodes.SetValue(, gp_Pnt(, , )); parameters.SetValue(, 0.0);
parameters.SetValue(, 1.0); polyline = new Poly_Polygon3D(nodes, parameters);
polyline->Deflection(0.1); Poly::Write(polyline, std::cout);
Poly::Write(polyline, std::cout, false); // Triangulations.
// 4 2 1 0
// 0 0 0 0 0 3 0 2 3 0 2 0 0 0 3 0 3 -2 0 -2 2 4 3 2 1 4
Standard_Integer nodeCount = ;
Standard_Integer triangleCount = ;
Standard_Real deflection = 0.0;
Standard_Boolean hasUV = Standard_True; TColgp_Array1OfPnt triNodes(, nodeCount);
TColgp_Array1OfPnt2d UVNodes(, nodeCount);
Poly_Array1OfTriangle triangles(, triangleCount);
Handle_Poly_Triangulation triangulation; triNodes().SetCoord(, , );
triNodes().SetCoord(, , );
triNodes().SetCoord(, , );
triNodes().SetCoord(, , ); UVNodes().SetCoord(0.0, 0.0);
UVNodes().SetCoord(3.0, 0.0);
UVNodes().SetCoord(3.0, -2.0);
UVNodes().SetCoord(0.0, -2.0); triangles().Set(, , );
triangles().Set(, , ); triangulation = new Poly_Triangulation(triNodes, UVNodes, triangles);
triangulation->Deflection(deflection); Poly::Write(triangulation, std::cout);
Poly::Write(triangulation, std::cout, false); return ;
}

输出结果如下所示:

Poly_Polygon3D

0.1

Poly_Polygon3D
Nodes
with parameters
Deflection : 0.1 Nodes :
:
: Parameters : Poly_Triangulation -
- Poly_Triangulation
Nodes
Triangles
with UV nodes
Deflection : 3D Nodes :
:
:
:
: UV Nodes :
:
:
: -
: - Triangles :
:
:
Press any key to continue . . .

五、结论

通过对OpenCascade中BRep文件中的离散数据的学习,理解显示用数据结构及其实现。另外发现在类Poly和类BRepTools_ShapeSet中都有对多段线和三角网格进行读写的函数,有重复代码,可以合并简化。

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