• v1,v2,…,vn 是内积空间的一组向量,Gram 矩阵定义为: Gij=⟨vi,vj⟩,显然其是对称矩阵。

  • 其实对于一个XN⋅d(N 个样本,d 个属性)的样本矩阵而言,X⋅X′ 即为 Gram 矩阵;

1. 基本性质

  • 半正定(positive semidefinite)

2. 应用

  • 如果 v1,v2,…,vn 分别是随机向量,则 Gram 矩阵是协方差矩阵;

3. 在 ML 中的应用

对于感知机模型(perceptron)的对偶形式:

  • 输入:线性可分的数据集 T={(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)},其中 xi∈Rn,yi∈{−1,+1} ,学习率为 η,
  • 输出:α,b,感知机模型为 f(x)=sgn(∑j=1Nαjyjxj⋅x+b),显然 α 是长度为 N 的向量;

  • 算法:

    • (1) α←0,b←0
    • (2) 在训练集中选取数据 (xi,yi)
    • (3) 如果 yi(∑j=1Nαjyjxj⋅x+b)≤0,
      • αi←αi+η
      • b←+ηyi
    • (4) 转至(2), 直至没有误分类数据;

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