【学习笔记】关于最大公约数(gcd)的定理

手动博客搬家: 本文发表于20181004 00:21:28, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/82935140

结论1

\[\gcd(x^{a}-1,x^{b}-1)=x^{\gcd(a,b)}-1\]
证明:
采用数学归纳法。
令\(a=kb+p\), 则有\(\gcd(x^{a}-1,x^{b}-1)=\gcd(x^{kb+p}-1,x^b-1)=\gcd(x^p(x^{kb}-1)+x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^p-1,x^b-1)=\gcd(x^b-1,x^{(a\mod b)}-1)\).
中间一步利用到了如下结论: \((x-1)|(x^k-1)\), 证明直接因式分解: \(x^k-1=(x-1)(\sum^{k-1}_{i=0} x_i)\)

结论2

\[\gcd(Fib(a),Fib(b))=Fib(\gcd(a,b))\]
其中\(Fib(x)\)为Fibonacci数列第\(x\)项。
证明:
首先证明一个结论: \(Fib(a+b)=Fib(a-1)Fib(b)+Fib(a)Fib(b+1)\)
采用数学归纳法: \(b=1, Fib(a+b)=Fib(a+1)=Fib(a)+Fib(a-1)=Fib(a-1)Fib(1)+Fib(a)Fib(2)\)
\(b=2, Fib(a+b)=Fib(a+2)=Fib(a+1)+Fib(a)=2Fib(a)+Fib(a-1)=Fib(a-1)Fib(2)+Fib(a)Fib(3)\)
对于更大的\(b\), 假设有结论对\(b-1, b-2\)成立，则\(Fib(a+b)=Fib(a+b-1)+Fib(a+b-2)=Fib(a-1)Fib(b-1)+Fib(a)Fib(b)+Fib(a-1)Fib(b-2)+Fib(a)Fib(b-1)=Fib(a-1)(Fib(b-2)+Fib(b-1))+Fib(a)(Fib(b-1)+Fib(b))=Fib(a-1)Fib(b)+Fib(a)Fib(b+1)\)
因此假设成立。
然后考虑如何证明\(\gcd\): 首先\(\gcd(Fib(n),Fib(n-1))=1\) (数学归纳同样可证)，然后不妨设\(a>b\), 依然可以数学归纳证明，假设上式对于\(a,b\)成立，则\(\gcd(Fib(a+b),Fib(a))=\gcd(Fib(a-1)Fib(b)+Fib(a)Fib(b+1),Fib(a))=\gcd(Fib(a-1)Fib(b),Fib(a))=\gcd(Fib(b),Fib(a))=Fib(\gcd(a,b))=Fib(\gcd(a+b,a))\).
证毕。
推广: 由于\(f(a+b)=f(a-1)f(b)+f(a)f(b+1)\)对多种能表示成\(f(n)=af(n-1)+bf(n-2), (\gcd(a,b)=1)\)的递推关系式都适用，因此对于此类关系式都有\(\gcd(f(a),f(b))=f(\gcd(a,b))\).