Bubble Cup 11 - Finals [Online Mirror, Div. 1]题解 【待补】

Bubble Cup 11 - Finals [Online Mirror, Div. 1]

一场很好玩的题啊！

I. Palindrome Pairs

• 枚举哪种字符出现奇数次。

G. AI robots

• 对\(r\)从大到小排序，然后cdq分治。
• 注意要对\(q-k,q+k,q\)进行离散化

B. Space Isaac

• 对原序列做差分,b[i]=a[i]-a[i-1]
• 如果我们要凑出\(x\),那么集合A中小于\(x\)的数字，要关于\(x/2\)对称，大于\(x\)的数字要关于\((x+m)/2\)对称。
• 枚举分界点x的位置，\(x\)左边，\(x\)右边的差分序列，都应该式回文的，才能合法。
• 怎么判断回文串呢？hash一下就好了。

C.Hyperspace Highways

• 先求出所有的点双联通分量。加上那些边后，每个点双都会变成一个完全图。
• 我们给每个点双建立一个虚拟节点，从这个虚拟节点像点双中每一个点连长度为1/2的边。然后把其它边删掉。
• 剩下的图一定是一棵树，如果有环的话，那么又出现了新的点双。
• 树上路径长度查询，拿LCA做就好了。

一开始想的假算法：留下所有割点，建树。，然后建的树里竟然有环！于是就GG了。

从连通分量的角度，去重建一个图，也是比较常见的操作了。

• SCC缩点后，有向图会变成一个DAG。要连招的话，可以追加一个DAG上的DP什么的。
• BCC边双缩点后，把所有桥保留。每只边双连通分量变成一个点。那么我们会得到一棵树。树能干的事就多着了！好多好多操作都可以施展了。
• BCC点双！不能随便缩点啊！会得到很辣鸡的东西。

D.Interstellar battle

• 一开始想树形DP搞，然后很GG。
• 连通块个数 = \(V - E\)，也就是点数-边数。
• 我们分别求出V的期望，和E的期望就好了。V的期望很好求。
• E的期望 = \(\sum_{edge} p(edge苟住了)\)，期望可加性，把条边对答案的贡献加起来即可。

像这种期望问题，一般是两种策略了。

• 策略1：最终的答案可能要我们算一个宏伟的东西，根据期望的可加性什么的，把最终答案分成很多个小事件。然后加起来。这个问题就是这样的！
• 策略2：拿头去DP。如果事件之间不具备独立性，然后我们又要算\(E(AB)\)这种东西。那就考虑下DP吧！如果拿DP搞那种策略1的那种东西，就会又掉血，又掉蓝，这就非常不理智了。

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