【康拓展开】及其在求全排列第k个数中的应用
题目:给出n个互不相同的字符, 并给定它们的相对大小顺序,这样n个字符的所有排列也会有一个顺序. 现在任给一个排列,求出在它后面的第i个排列.
这是一个典型的康拓展开应用,首先我们先阐述一下什么是康拓展开。
(1)康拓展开
所谓康拓展开是指把一个整数X展开成如下形式:
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。(其中,a为整数,并且0<=a[i]<i(1<=i<=n))
(2)应用实例
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。他们间的对应关系可由康托展开来找到。
#include <iostream>
using namespace std; int Cantor(int *s,int n); //康托展开,判断给定的排列位于全排列中的第几个
long int fac[]={,,,,,,,,,}; //表示阶乘运算的结果
//long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!}; int main(int argc,char *argv)
{
int s[]={,,,}; //表示排列2134
int len=; //表示数列中数字数目
int index=Cantor(s,len);
cout<<index<<endl;
return ;
}
int Cantor(int *s,int n)
{
int i,j,num,temp;
num=;
for(i=;i<n;i++)
{
temp=; //temp记录当前数位前面的低数位中小于当前位数上的数字的个数
for(j=i+;j<n;j++)
if(s[j]<s[i])
temp++;
num+=fac[n--i]*temp; //乘以相应的阶乘
}
return num;
}
如何判断给定一个位置,输出该位置上的数列,康拓展开的逆运算,例如:
首先用96-1得到95
#include <iostream>
using namespace std; void CantorReverse(int index,int *p,int n); //康托展开逆用,判断给定的位置中的排列
long int fac[]={,,,,,,,,,}; //表示阶乘运算的结果
//long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!}; int main(int argc,char *argv)
{
int len=;
int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int));
CantorReverse(,s,len); //有数字{12345}组成的所有排列中,求出第96个排列的顺序
for(int i=;i<len;i++)
cout<<s[i];
cout<<endl;
free(s);
return ;
}
void CantorReverse(int index,int *p,int n)
{
index--; //勿丢
int i,j;
bool hash[]={};
for(i=;i<n;i++)
{
int tmp=index/fac[n--i]; //tmp表示有tmp个数字比当前位置上的数字小
for(j=;j<=tmp;j++)
if(hash[j]) tmp++;
p[i]=tmp+;
hash[tmp]=;
index%=fac[n--i];
}
return;
}
(2)题目解决
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