【康拓展开】及其在求全排列第k个数中的应用

题目：给出n个互不相同的字符, 并给定它们的相对大小顺序,这样n个字符的所有排列也会有一个顺序. 现在任给一个排列,求出在它后面的第i个排列.
这是一个典型的康拓展开应用，首先我们先阐述一下什么是康拓展开。

（1）康拓展开

　　所谓康拓展开是指把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）

（2）应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：

　　第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! ；

　　第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，即1未出现在前面的低位当中，所以只有一个数2 1*2! ；

　　第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，即1未出现在前面的低位当中，所以有0个数 0*1! ；

　　所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

其代码实现为：

 #include <iostream>
 using namespace std;
 
 int Cantor(int *s,int n);  //康托展开，判断给定的排列位于全排列中的第几个
 long int fac[]={,,,,,,,,,}; //表示阶乘运算的结果
 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
 
 int main(int argc,char *argv)
 {
     int s[]={,,,};   //表示排列2134
     int len=;        //表示数列中数字数目
     int index=Cantor(s,len);
     cout<<index<<endl;
     return ;
 }
 int Cantor(int *s,int n)
 {
     int i,j,num,temp;
     num=;
     for(i=;i<n;i++)
     {
         temp=;     //temp记录当前数位前面的低数位中小于当前位数上的数字的个数
         for(j=i+;j<n;j++)
             if(s[j]<s[i])
                 temp++;
         num+=fac[n--i]*temp;  //乘以相应的阶乘
     }
     return num;
 }

如何判断给定一个位置，输出该位置上的数列，康拓展开的逆运算，例如：

　　{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，请找出第96个数：

 

　　 首先用96-1得到95

 　　用95去除4! 得到3余23，即有3个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为4；

 　　用23去除3! 得到3余5，即有3个数比该数位上的数字小，理应为4，但4已在前面的高位中出现过，所以该数位的数字为5；

 　　用5去除2!得到2余1，即有2个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为3；

 　　用1去除1!得到1余0，即有1个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为2；

 　　最后一个数只能是1；

 　　所以这个数是45321

其代码实现：

 #include <iostream>
 using namespace std;
 
 void CantorReverse(int index,int *p,int n);  //康托展开逆用，判断给定的位置中的排列
 long int fac[]={,,,,,,,,,}; //表示阶乘运算的结果
 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
 
 int main(int argc,char *argv)
 {
     int len=;
     int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int));
     CantorReverse(,s,len);  //有数字{12345}组成的所有排列中，求出第96个排列的顺序
     for(int i=;i<len;i++)
         cout<<s[i];
     cout<<endl;
     free(s);
     return ;
 }
 void CantorReverse(int index,int *p,int n)
 {
     index--;     //勿丢
     int i,j;
     bool hash[]={};
     for(i=;i<n;i++)
     {
         int tmp=index/fac[n--i];  //tmp表示有tmp个数字比当前位置上的数字小
         for(j=;j<=tmp;j++)
             if(hash[j]) tmp++;
         p[i]=tmp+;
         hash[tmp]=;
         index%=fac[n--i];
     }
     return;
 }

（2）题目解决

　　通过以上分析，则本章开头提出的题目就迎刃而解了，先通过给定的序列，求出所在位置，再加上i，得到 i 以后的位置，最后根据位置求出序列。相信大家能自己写出程序，在此就不具体写出了。