【矩阵---求A的1到N次幂之和】
引例: Matrix Power Series:
题目大意,给定矩阵A,求A^+A^+A^+...A^N。
题解:已知X=a,可以通过以下矩阵求出ans=a^+a^+...a^N ans=矩阵^n后第一行之和-=矩阵^(n+)后右上格的和-。
同理:矩阵也可以,只需要把1改为单位矩阵元即可。
左图a是常数,1就是1; 右图A是矩阵,1是单位元矩阵(主对角线是1)。
代码1:矩阵^N,第一行之和-1。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int N,K,Mod;
struct mat
{
int mp[maxn][maxn],len;
mat(int x){ len=x; memset(mp,,sizeof(mp)); }
mat friend operator *(mat a,mat b)
{
mat res(a.len);
for(int k=;k<=res.len;k++)
for(int i=;i<=res.len;i++)
for(int j=;j<=res.len;j++)
res.mp[i][j]=(res.mp[i][j]+a.mp[i][k]*b.mp[k][j])%Mod;
return res;
}
mat friend operator ^(mat a,int x)
{
mat res(a.len);
for(int i=;i<=res.len;i++) res.mp[i][i]=;
while(x){
if(x&)res=res*a; a=a*a; x>>=;
} return res;
}
};
int main()
{
scanf("%d%d%d",&N,&K,&Mod);
mat array(N+N);
for(int i=;i<=N;i++)
for(int j=;j<=N;j++){
scanf("%d",&array.mp[i][j]);
}
for(int i=;i<=N;i++) array.mp[i][i+N]=array.mp[i+N][i+N]=;
array=array^(K);
for(int i=;i<=N;i++) array.mp[i][i+N]-=;
for(int i=;i<=N;i++){
for(int j=;j<N;j++)
printf("%d ",(array.mp[i][j]+array.mp[i][j+N]+Mod)%Mod);
printf("%d\n",(array.mp[i][N]+array.mp[i][N+N]+Mod)%Mod);
}
return ;
}
代码2:矩阵^N+1,右上格之和-1。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int N,K,Mod;
struct mat
{
int mp[maxn][maxn],len;
mat(int x){ len=x; memset(mp,,sizeof(mp)); }
mat friend operator *(mat a,mat b)
{
mat res(a.len);
for(int k=;k<=res.len;k++)
for(int i=;i<=res.len;i++)
for(int j=;j<=res.len;j++)
res.mp[i][j]=(res.mp[i][j]+a.mp[i][k]*b.mp[k][j])%Mod;
return res;
}
mat friend operator ^(mat a,int x)
{
mat res(a.len);
for(int i=;i<=res.len;i++) res.mp[i][i]=;
while(x){
if(x&)res=res*a; a=a*a; x>>=;
} return res;
}
};
int main()
{
scanf("%d%d%d",&N,&K,&Mod);
mat array(N+N);
for(int i=;i<=N;i++)
for(int j=;j<=N;j++){
scanf("%d",&array.mp[i][j]);
}
for(int i=;i<=N;i++) array.mp[i][i+N]=array.mp[i+N][i+N]=;
array=array^(K+);
for(int i=;i<=N;i++) array.mp[i][i+N]-=;
for(int i=;i<=N;i++){
for(int j=;j<N;j++)
printf("%d ",(array.mp[i][j+N]+Mod)%Mod);
printf("%d\n",(array.mp[i][N+N]+Mod)%Mod);
}
return ;
}
代码3:利用二分。
--------------------分界线---------------------------
例题:HDU2243:考研路茫茫——单词情结
题意:问长度位1到L的所有单词中,有多少个不含给出的几个单词。
思路:利用矩阵得到可以26的1到N次幂。然后利用AC自动机得到基本矩阵X,再利用矩阵得到得到X^+X^+X^...X^N。
比如得到26的0到N次幂和,就有矩阵a[][]=,a[][]=,a[][]=,a[][]=;
矩阵^N后,第一行的和就是答案。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ull unsigned long long
const int maxn=;
int ch[maxn][],cnt;
int q[maxn],head,tail,Next[maxn],tag[maxn];
char s[];
struct mat
{
ull mp[maxn][maxn];
mat(){memset(mp,,sizeof(mp));}
mat init(){ memset(mp,,sizeof(mp));}
mat friend operator *(mat a,mat b)
{
mat res;
for(int k=;k<=max(cnt,);k++)
for(int i=;i<=max(cnt,);i++)
for(int j=;j<=max(cnt,);j++)
res.mp[i][j]+=a.mp[i][k]*b.mp[k][j];
return res;
}
mat friend operator ^(mat a,int x)
{
mat res;
for(int i=;i<=cnt;i++)
res.mp[i][i]=;
while(x){
if(x&) res=res*a;
a=a*a; x>>=;
} return res;
}
}; mat array; struct ACautom
{
void update()
{
cnt=head=tail=;
memset(Next,,sizeof(Next));
memset(tag,,sizeof(tag));
memset(ch,,sizeof(ch));
array.init();
}
void insert()
{
int Now=;
for(int i=;s[i];i++){
int x=s[i]-'a';
if(!ch[Now][x]) ch[Now][x]=++cnt;
Now=ch[Now][x];
} tag[Now]=;
}
void build()
{
for(int i=;i<;i++){
if(ch[][i]) q[++head]=ch[][i];
if(!tag[ch[][i]]) array.mp[][ch[][i]]++;
}
while(tail<head){
int u=q[++tail];
for(int i=;i<;i++){
if(ch[u][i]){
q[++head]=ch[u][i];
Next[ch[u][i]]=ch[Next[u]][i];
if(tag[Next[ch[u][i]]]) tag[ch[u][i]]=;
}
else ch[u][i]=ch[Next[u]][i];
if(!tag[ch[u][i]]) array.mp[u][ch[u][i]]++;
}
}
cnt++;
for(int i=;i<=cnt;i++) array.mp[i][cnt]=;
}
void qpow(int K)
{
ull ans,res=;
mat base;
base.mp[][]=; base.mp[][]=;
base.mp[][]=; base.mp[][]=;
base=base^K;
ans=base.mp[][]+base.mp[][];
array=array^K;
for(int i=;i<=cnt;i++) res=res+array.mp[][i];
cout<<ans-res<<endl;
}
}Trie;
int main()
{
int N,K;
while(~scanf("%d%d",&N,&K)){
Trie.update();
for(int i=;i<=N;i++) {
scanf("%s",s);
Trie.insert();
}
Trie.build();
Trie.qpow(K);
}
return ;
}
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