bzoj 2839: 集合计数【容斥原理+组合数学】

首先，考虑容斥，我们所要的答案是并集至少有\( k \)个数的方案数减去并集至少有\( k+1 \)个数的方案数加上并集至少有\( k \)个数的方案数……

在n个数中选i个的方案数是\( C_{n}^{i} \)，n种集合的组合方案数为\( 2^n \)

并集至少有i个元素的方案数即为选\( i \)个元素的方案数\( C_{n}^{i} \)，乘上剩下\( n-i \)个元素任意组合的方案数\( 2^{2{n-i}-1} \)

然后乘上容斥系数\( (-1)^{i-k} \)，再乘上在并集的\( i \)个元素中选择\( k \)个元素的方案数\( C_{i}^{k} \)

答案即为：\( ans=\sum_{i=k}^{i<=n}(-1){i-k}*C_{n}^{i}*C_{i}{k}*2^{2{n-i}-1} \)，ans可能为负数，记得最后\( ans=(ans\%mod+mod)\%mod \)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7,N=1000005;
long long n,k,inv[N],fac[N],ans;
long long ksm(long long a,long long b)
{
	long long r=1ll;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			r=r*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
long long C(long long n,long long m)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	fac[0]=1;
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;//,cout<<fac[i]<<" ";
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(long long i=n-1;i>=0;i--)
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;//,cout<<inv[i]<<endl;;
	for(long long i=n,b=2;i>=k;i--,b=b*b%mod)
		ans=(ans+((((i-k)&1)?-1:1)*C(n,i)%mod*C(i,k)%mod*(b+mod-1)%mod))%mod;
	printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
	return 0;
}