Prüfer序列和cayley定理

参考资料：

1.matrix67 《经典证明：Prüfer编码与Cayley公式》

2.百度百科

3.Forget_forever prufer序列总结

4.维基百科

5.dirge的学习笔记

一、Cayley定理

我们先讲讲Cayley公式/定理？。

凯莱定理，是所有群 G 同构于在 G 上的对称群的子群。

什么鬼？！

其实定理还有另一种表述：过n个有标志顶点的树的数目等于n^(n-2)，也即完全图K_n有n^(n-2)棵生成树。

此定理说明用n-1条边将n个一致的顶点连接起来的连通图的个数为n^(n-2)，也可以这样理解，将n个城市连接起来的树状公路网络有n^(n-2)种方案。所谓树状，指的是用n-1条边将n个顶点构成一个连通图。当然，建造一个树状的公路网络将n个城市连接起来，应求其中长度最短、造价最省的一种，或效益最大的一种。Cayley定理只是说明可能方案的数目。

matrix67给出的用Prüfer序列证明Cayley定理的方式，第一步就是将树转换为Prüfer序列。

第一步：一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,...,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。

摘自百度的例子：

例子

Prufer数列

以右边的树为例子，首先在所有叶子节点中编号最小的点是2，和它相邻的点的编号是3，将3加入序列并删除编号为2的点。接下来删除的点是4，5被加入序列，然后删除5，1被加入序列，1被删除，3被加入序列，此时原图仅剩两个点（即3和6），Prufer序列构建完成，为{3,5,1,3}。

 

由以上的过程，可以发现任何节点数为n的树(n>2)，都唯一地对应了一个长度为n-2的Prüfer序列。

现在考虑此过程的逆，也即任何一个长度为n-2的序列，取值范围为[1,n]，都唯一地对应了一个n个节点的树。

逆过程可以这样描述：设{a1,a2,..an-2}为一棵有n个节点的树的Prufer序列，另建一个集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出现过的数，将该点与Prufer序列中首项连一条边，并将该点和Prufer序列首项删除，重复操作n-2次，将集合中剩余的两个点之间连边即可。

 

因而，我们的Prüfer编码和无根树也就形成了一一对应的关系，Cayley公式不证自明~。

 

 

 

二、Prüfer序列和cayley定理的推广和应用

1.（前言）有了这个好东西，我们可以直接得出n个点无向完全图的生成树计数。同时地，生成树问题就可以通过这一过程转化为排列组合问题了。

2.（推广1）Prüfer序列的性质：序列中某个编号的出现次数和此节点在无根树中的度数-1。这是不证自明的，看看步骤中的操作和最后仅剩2个点就停止的限定就可以简单得出了，是举不出反例的（不懂证明._.）。

3.（推广2）一个有趣的推广是，n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]个，因为根据推广1此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次。即n种元素，共n-2个位置来生成一个Prüfer序列（当然同时就生成了一棵与之对应的树），其中第i种元素有di-1个，求排列数。也就是将n-2个元素全排列后去重一下，这就是对公式中分母分子的理解了。

4.（来自bzoj1005明明的烦恼）n个节点的度依次为D1,D2...Dk，令有m个节点度数未知，求生成树计数。记已知点i个度数为di，有n个节点，m个未知数，那么剩下的游离度（我自己yy出的名词）为left=(n-2)-(d1-1)-(d2-1)-...-(dk-1)。有了之前巨大武器，可以简单地从一个组合推到一棵树，那么已知度数的节点可能的组合方式是：(n-2)!/[(d1-1)!(d2-1)!...(dk-1)!left!]，那么此时剩下的left个可以用未知度数的节点随意填补，方案数为m^left（说明：即当前剩下了m个节点，考虑left个游离度的每一个度，与之一一对应的有m种情况，也就是left个关卡，每个关卡有m个选择咯）。最后得出ans=(n-2)!/(d1-1)!/(d2-1)!/.../(dk-1)!/left! * m^left

附：对这题，网上做法不一，一般是生成个质数表+暴力分解质因数+高精度来解决。

具体代码看我的博文吧，其实网上也很多