转 蓝桥杯 历届试题 波动数列 [ dp ]
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。
栋栋对这种数列很好奇,他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢?
转一发题解:
http://m.blog.csdn.net/blog/quzhongrensan511/23156363
原题可化为nx+(n-1)p(1)+(n-2)p(2)+…+p(n)=s,其中n为数列长度,x为初值,p(i)={a,-b}。本题的目标是给出不同的p序列,使得等式成立并且x为整数。自然而然可以想到枚举的方法,给出不同的序列,令t=s-Σi*p(n-i),若t%n==0则是一种可取的方案。直接枚举肯定会超时,所以需要进一步考虑。注意到,a和b的总数为n(n-1)/2个(所有p前系数的和),所以我们只需要枚举a的个数,将t修改为t=s-ca-(n(n-1)/2-c)b,c为枚举数,0<=c<=n(n-1)/2。
当然满足条件的c的个数并不是我们想要的,因为给定一个c,存在多种组合方式。但是可以发现,每个c都是由1~n-1中若干元素组成的。于是问题转化为求容量为c的01背包的方案数。对于本题,可以写为:(f[i][j]为前i个物体构成j体积的方案数,第i个物体的体积为i)
f[i][j]=f[i-1][j], i>j
f[i-1][j]+f[i-1][j-i], j>=i
注意到递推式只和前一状态有关,故可以使用滚动数组;根据定义,可以预先算出每一个f[n][i],避免重复计算;前i个货物最多只能达到i*(i+1)/2的体积,所以大于这个数值的部分没有必要计算。具体的请看代码,其实就这么几行。
思路真是好~
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