[luoguP2774] 方格取数问题（最大点权独立集）

传送门

引入两个概念：

最小点权覆盖集：满足每一条边的两个端点至少选一个的最小权点集。

最大点权独立集：满足每一条边的两个端点最多选一个的最大权点集。

现在对网格染色，使得相邻两点颜色不同，之后把两个颜色的点分成两个集合X,Y。S向X集合每个点连一条该点权值的边，Y集合每个点向T连一条该点权值的边，原来的边流量全部变为INF。这个网络的最小割为最小点权覆盖集。因为这个最小割满足了，对于中间每一条边，两端的点必定选择了一个。若一个都没有选择则S与T仍连通。且因为中间的边流量为INF所以不会是中间被堵塞。

然后我们可以证明对于每一个点权覆盖集，将选的点不选，不选的点选，得到的点集一定是一个点权独立集。因为每一条边至少选了一个，反选后就至少有一个选不了。

所以该网络的最小割=最大流=权值和-答案

答案就是权值和-最大流，跑一遍最大流即可

——代码

 #include <queue>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #define INF 1e9
 #define N 10010
 #define M 50001
 #define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))

 int n, m, cnt, sum, s, t, num;
 int head[N], to[M], val[M], next[M], dis[N], cur[N];
 int map[][], dx[] = {, , -, }, dy[] = {, , , -};

 inline int read()
 {
     int x = , f = ;
     char ch = getchar();
     for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = -;
     for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << ) + (x << ) + ch - '';
     return x * f;
 }

 inline void add(int x, int y, int z)
 {
     to[cnt] = y;
     val[cnt] = z;
     next[cnt] = head[x];
     head[x] = cnt++;
 }

 inline bool bfs()
 {
     int i, u, v;
     std::queue <int> q;
     memset(dis, -, sizeof(dis));
     q.push(s);
     dis[s] = ;
     while(!q.empty())
     {
         u = q.front(), q.pop();
         for(i = head[u]; i ^ -; i = next[i])
         {
             v = to[i];
             if(val[i] && dis[v] == -)
             {
                 dis[v] = dis[u] + ;
                 if(v == t) return ;
                 q.push(v);
             }
         }
     }
     return ;
 }

 inline int dfs(int u, int maxflow)
 {
     if(u == t) return maxflow;
     int v, d, ret = ;
     for(int &i = cur[u]; i ^ -; i = next[i])
     {
         v = to[i];
         if(val[i] && dis[v] == dis[u] + )
         {
             d = dfs(v, min(val[i], maxflow - ret));
             ret += d;
             val[i] -= d;
             val[i ^ ] += d;
             if(ret == maxflow) return ret;
         }
     }
     if(ret ^ maxflow) dis[u] = -;
     return ret;
 }

 int main()
 {
     int i, j, k, x, y;
     m = read();
     n = read();
     s = , t = n * m + ;
     memset(head, -, sizeof(head));
     for(i = ; i <= m; i++)
         for(j = ; j <= n; j++)
         {
             num++;
             sum += x = read();
             if((i + j) & )
             {
                 add(s, num, x), add(num, s, );
                 if(i > ) add(num, num - n, INF), add(num - n, num, );
                 if(i < m) add(num, num + n, INF), add(num + n, num, );
                 if(j > ) add(num, num - , INF), add(num - , num, );
                 if(j < n) add(num, num + , INF), add(num + , num, );
             }
             else add(num, t, x), add(t, num, );
         }
     while(bfs())
     {
         for(i = s; i <= t; i++) cur[i] = head[i];
         sum -= dfs(s, INF);
     }
     printf("%d\n", sum);
     return ;
 }