Codeforces 920D Tanks

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题意

有 \(n\) 个容积无限的水缸，初始时水量为\(a_1,a_2,...,a_n\)，有一把容积为\(k\)的勺子，可以从一个水缸中舀水倒入另一个水缸中。问能否给出操作序列，使得最终某一个水缸中水的容量为\(V\).

思路

参考 - 粉兔.

结论

首先，如果\(\sum_{i=1}^{n}a_i\lt V\)，显然不可行。

否则，一旦\(\exists p_1,p_2,...,p_t,s.t.(\sum_{i=1}^{t}a_{p_i})\%k==V\%k\)，则我们说，这件事是可行的。

为什么呢？因为一旦可以取到同余的值，那么无论总量是多余还是不足都可以用勺子解决：多了，就往外舀；少了，就从其他缸(\(i.e.\) 第\(j\)个\((j!=p_i(i=1,2,...,t)\)))中补进来。

至于操作的具体细节，暂放一下。

dp

那么该怎么判断是否有上面的条件成立呢？

用 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个缸能否取到模数为 \(j\) 的值，特别的，

\[dp[i][j]=\begin{cases}0,&cannot\ make\ it\cr1,&can\ make\ it\ without\ a_i\cr2,&a_i\ needed\ to\ make\ it\cr\end{cases}
\]

则 \(dp[n][V\%k]\) 即表示前 \(n\) 个缸能否取到模数为 \(k\) 的值。

构造

现在有了这个结论和中间记录的 \(dp\) 值，该怎么推出步骤呢？

注意到，上面的记录过程提供给了我们 \(p_1,p_2,...,p_t\)，即必须全部取的缸；而其余的缸，不妨记为 \(q_1,q_2,...,q_s\)。

则可行操作如下：

1. 将 \(p1,...,p_{t-1}\) 缸中的水全部舀入 \(p_t\) 中；
2. 将 \(q1,...,q_{s-1}\) 缸中的水全部舀入 \(q_s\) 中；
3. 在 \(p_t\) 与 \(q_s\) 之间进行多退少补。

注意几种 特殊情况，比如 \(t=n\) 和 \(s=n\) 的情况：

\(t=n\) 即所有的缸都需要，最后总量肯定只会超出，不会不够，并且超出的部分必然是 \(k\) 的整倍数。

此时，将所有缸中的水都舀到某一个缸中，再将超出的部分舀到另一个缸中；

（这种情况可以与一般情况合在一起统一处理）。

\(s=n\) 即所有的缸都不需要，这是什么回事呢？当 \(k|V\) 时就会发生这种情况，即所需要的容积恰好可以用若干勺舀出。

此时，将所有缸中的水都舀到某一个缸中，再将需要的部分舀到另一个缸中。

// 很佩服粉兔啦%%%

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 5010
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[maxn], b[maxn], dp[maxn][maxn];
bool flag[maxn];
int main() {
    int n, k, v, sum = 0;
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &v);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        sum += (b[i] = a[i]), a[i] %= k;
    }

    if (sum < v) { puts("NO"); return 0; }
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < k; ++j) {
            if (dp[i-1][j]) {
                dp[i][j] = 1;
                if (!dp[i][(j+a[i])%k]) dp[i][(j+a[i])%k] = 2;
            }
        }
    }
    int tar = v % k;
    if (!dp[n][tar]) { puts("NO"); return 0; }
    puts("YES");
    int ans = 0, fnl1 = -1, fnl2 = -1;
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
        if (dp[i][tar]==2) {
            flag[i] = true, (tar += k-a[i]) %= k, ans += b[i];
            if (fnl1==-1) fnl1 = i;
        }
        else if (fnl2 == -1) fnl2 = i;
    }
    if (fnl1==-1) {
        for (int i = 1; i < n; ++i) if (b[i]) {
            printf("%d %d %d\n", (b[i] + k-1)/k, i, n);
        }
        if (v/k) printf("%d %d %d\n", v/k, n, 1);
        return 0;
    }
    assert((v-ans) % k == 0);
    int rem = v - ans;
    int S1 = b[fnl1], S2 = b[fnl2];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (i == fnl1 || i == fnl2 || !b[i]) continue;
        if (!flag[i]) printf("%d %d %d\n", (b[i]+k-1)/k, i, fnl2), S2 += b[i];
        else printf("%d %d %d\n", (b[i]+k-1)/k, i, fnl1), S1 += b[i];
    }
    assert((v-S1) % k == 0);
    int cnt = (v-S1) / k;
    if (cnt>0) printf("%d %d %d\n", cnt, fnl2, fnl1);
    else if (cnt<0) printf("%d %d %d\n", -cnt, fnl1, 1);
    return 0;
}