前言:抽时间做了做这道题,把学长送退役的题。

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题目链接

题目大意:定义$()$是合法括号串。如果$A,B$是合法括号串,那么$(AB),AB$为合法括号串。现给定根节点为$1$的一棵树,每个节点有一个括号。定义$s_i$是从根节点到$i$结点的括号串,$k_i$是$s_i$的合法子串,求$1*k_1 \ xor \ 2*k_2 \ xor \cdots \ n*k_n$。

这道题其实实现起来并不难,重要的是思维。我也是想了快一个小时才推出来式子QAQ。

可以发现,合法的括号串模型,无非就三种:

1.$combo$式:$()()()\cdots ()$

2.套娃式:$(((((\cdots )))))$

3.混合式:$((()()\cdots ()()))$

很明显,对于$combo$式,如果末尾再添加一个合法括号串,那么对答案肯定又有很多贡献。我们先来简单推一推式子:

假设先前有$n-1$个连续的合法括号串,现在在末尾添加了一个。

先前的答案:$(n-1)+\frac{(n-1)*(n-2)}{2}=\frac{n*(n-1)}{2}$

现在的答案:$n+\frac{n*(n-1)}{2}=\frac{n*(n+1)}{2}$

答案增加了$n$。

这对我们来说是个好消息,因为我们只要记录一下先前连续的合法括号串有多少个,就可以$O(1)$求出现在的答案。

答案是不是开始浮出水面了?

对于套娃和混合式,我们把它当作一个合法括号串,它们里面的答案由先前的递推来解决。

设$sum[i]$表示考虑前$i$个括号其合法的子串数量,$c[i]$表示截止到$i$为止连续的合法括号串数量。如果遇到$($,我们就让它入栈,遇到$)$就统计答案,有递推式:

$sum[now]=sum[fa[now]]+c[fa[st[tot]]]+1,c[now]=c[fa[st[tot]]]+1,tot--$

这样写对于序列没有任何问题,但是遇到树形结构就萎了:树是递归遍历的,用栈来维护可能会改变先前的括号顺序。所以我们要用链表来维护左括号序列。

剩下的就没有什么难的了。注意一些小细节:开long long,注意链表已经是否到头,等等。

代码:

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. #define int long long
  3. using namespace std;
  4. const int maxn=;
  5. int fa[maxn],last[maxn*],c[maxn],sum[maxn],head[maxn],n,tot,cnt,ans;
  6. char ch[maxn];
  7. struct node
  8. {
  9. int next,to;
  10. }edge[maxn];
  11. inline int read()
  12. {
  13. int x=,f=;char ch=getchar();
  14. while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
  15. while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
  16. return x*f;
  17. }
  18. inline void add(int from,int to)
  19. {
  20. edge[++cnt].next=head[from];
  21. edge[cnt].to=to;
  22. head[from]=cnt;
  23. }
  24. inline void dfs(int now)
  25. {
  26. sum[now]=sum[fa[now]];
  27. if (ch[now]==')'){
  28. if (last[now]) c[now]=c[last[now]]+,sum[now]+=c[now];
  29. last[now]=last[last[now]];
  30. }
  31. ans^=now*sum[now];
  32. for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
  33. {
  34. int to=edge[i].to;
  35. if (ch[now]=='(') last[to]=now;
  36. else last[to]=last[now];
  37. if (ch[now]==')'&&ch[to]=='(') c[to]=c[now];
  38. dfs(to);
  39. }
  40. }
  41. signed main()
  42. {
  43. n=read();
  44. for (int i=;i<=n;i++) scanf("%c",&ch[i]);
  45. for (int i=;i<=n;i++)
  46. {
  47. int x=read();
  48. fa[i]=x;add(x,i);
  49. }
  50. dfs();
  51. cout<<ans;
  52. return ;
  53. }

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