【CSP2019】括号树 题解(递推+链表)
前言:抽时间做了做这道题,把学长送退役的题。
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题目大意:定义$()$是合法括号串。如果$A,B$是合法括号串,那么$(AB),AB$为合法括号串。现给定根节点为$1$的一棵树,每个节点有一个括号。定义$s_i$是从根节点到$i$结点的括号串,$k_i$是$s_i$的合法子串,求$1*k_1 \ xor \ 2*k_2 \ xor \cdots \ n*k_n$。
这道题其实实现起来并不难,重要的是思维。我也是想了快一个小时才推出来式子QAQ。
可以发现,合法的括号串模型,无非就三种:
1.$combo$式:$()()()\cdots ()$
2.套娃式:$(((((\cdots )))))$
3.混合式:$((()()\cdots ()()))$
很明显,对于$combo$式,如果末尾再添加一个合法括号串,那么对答案肯定又有很多贡献。我们先来简单推一推式子:
假设先前有$n-1$个连续的合法括号串,现在在末尾添加了一个。
先前的答案:$(n-1)+\frac{(n-1)*(n-2)}{2}=\frac{n*(n-1)}{2}$
现在的答案:$n+\frac{n*(n-1)}{2}=\frac{n*(n+1)}{2}$
答案增加了$n$。
这对我们来说是个好消息,因为我们只要记录一下先前连续的合法括号串有多少个,就可以$O(1)$求出现在的答案。
答案是不是开始浮出水面了?
对于套娃和混合式,我们把它当作一个合法括号串,它们里面的答案由先前的递推来解决。
设$sum[i]$表示考虑前$i$个括号其合法的子串数量,$c[i]$表示截止到$i$为止连续的合法括号串数量。如果遇到$($,我们就让它入栈,遇到$)$就统计答案,有递推式:
$sum[now]=sum[fa[now]]+c[fa[st[tot]]]+1,c[now]=c[fa[st[tot]]]+1,tot--$
这样写对于序列没有任何问题,但是遇到树形结构就萎了:树是递归遍历的,用栈来维护可能会改变先前的括号顺序。所以我们要用链表来维护左括号序列。
剩下的就没有什么难的了。注意一些小细节:开long long,注意链表已经是否到头,等等。
代码:
- #include<bits/stdc++.h>
- #define int long long
- using namespace std;
- const int maxn=;
- int fa[maxn],last[maxn*],c[maxn],sum[maxn],head[maxn],n,tot,cnt,ans;
- char ch[maxn];
- struct node
- {
- int next,to;
- }edge[maxn];
- inline int read()
- {
- int x=,f=;char ch=getchar();
- while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
- while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
- return x*f;
- }
- inline void add(int from,int to)
- {
- edge[++cnt].next=head[from];
- edge[cnt].to=to;
- head[from]=cnt;
- }
- inline void dfs(int now)
- {
- sum[now]=sum[fa[now]];
- if (ch[now]==')'){
- if (last[now]) c[now]=c[last[now]]+,sum[now]+=c[now];
- last[now]=last[last[now]];
- }
- ans^=now*sum[now];
- for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
- {
- int to=edge[i].to;
- if (ch[now]=='(') last[to]=now;
- else last[to]=last[now];
- if (ch[now]==')'&&ch[to]=='(') c[to]=c[now];
- dfs(to);
- }
- }
- signed main()
- {
- n=read();
- for (int i=;i<=n;i++) scanf("%c",&ch[i]);
- for (int i=;i<=n;i++)
- {
- int x=read();
- fa[i]=x;add(x,i);
- }
- dfs();
- cout<<ans;
- return ;
- }
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