深度优先搜索(dfs)与出题感想
在3月23号的广度优先搜索(bfs)博客里,我有提到写一篇深搜博客,今天来把这个坑填上。
第一部分:深度优先搜索(dfs)
以上来自百度百科。
简单来说,深度优先搜索算法就是——穷举法,即枚举所有情况,找寻可能的解法。
问题一:如何穷举?
假设我们对于1~4这些连续的自然数,我们需要求他的全排列。(不能用STL函数啊喂!!!)
显然,我们要做出3次选择:
第一步,我们需要从1~4这4个数里选出一个,作为全排列的第一个数,然后标记他(假设我们选择1)。
第二步,我们需要从剩下没标记的3个数中选出一个,作为第二个数,标记他(假设选择2)。
第三步,选择3,第四步,选择4。
这时我们回过头来,看看已经选过的数(1 2 3 4),发现在第3次选择中,我们可以选择其他的数。
显然在第3次选择中,我们除了3,还可以选择4,这样我们的三个选择就是(1 2 4)第四次可以选择3。这样就是(1 2 4 3)。
再回头看,第二次选择中,我们除了2,还可以选择3或4,假设我们选择3,这时我们的数列是(1 3),重做第三次对于两个数的选择,这时生成两个排列(1 3 2 4)和(1 3 4 2)。
如此再回到第一次选择,选2,选3,选4……直到枚举结束,我们就获得了1~4的全排列。
我们把我抽象的描述转化成这样一颗搜索树,就变得形象了:
我们对全排列的搜索就像上图的树一样。(从0开始第一次有4个选择,第二次有3个选择,第三次有2个选择,第四次有一个选择,到第四次,搜索结束)
其实就像初中的统计概率的题目一样画树状图。。。
问题二:知道如何穷举了,那么dfs是怎样的一种穷举方法?
很简单,对于一个图来说:
我们首先访问一个节点v,对与v节点相连的所有节点进行检索,检索到第一个之后(假设叫v2),对v2这个节点相连的(除了v)所有节点检索……
直到检索到vn这个节点,再没有新节点与他相连,这时,回到vn-1,检索除了vn-2和vn有没有别的节点与他相连,如果有,对该点进行检索。
如此反复,直到整个图的所有节点(也就是所有状态)都被访问过了,搜索算法结束。
还是上图帮助理解:
黄色:第一次搜索,返回枚举情况。(1 2 3)
蓝色:返回并进行第二次搜索,返回枚举情况。(1 2 4)
紫色:返回并进行第三次搜索,返回枚举情况。(1 5 6)
绿色:返回并进行第四次搜索,返回枚举情况。(1 6 7)
红色:返回并进行第五次搜索,返回枚举情况。(1 8 9)
至此,对整个图的遍历结束。
你可以认为dfs是优先对一个节点的所有儿子节点进行遍历,直到找到一个没有儿子节点的节点,即完成一次枚举,他如此重复直到完成对整个图的遍历。
Part 2:深度优先搜索代码实现
我们先看看几个例题来熟悉一下dfs的代码
洛谷P1644
很经典的一道深度优先搜索的题目,下面我来说说具体思路:
本题我们可爱的马只能向右边跳,所以降低了很大的复杂度,dfs可以轻松AC本题。
我们需要枚举所有可能的路径,(即马向4个方向走,直到无法再走一步)然后判断这条路走到最后是不是合法的,如果合法,方案总数+1,然后回溯,如果不合法,直接回溯即可。
看看代码(我尽量给注释)
//P1644
//#include<zhangtao.std>
//zhangtao AK IOI
#include<iostream>
using namespace std;
int go[][]={{,},{-,},{-,},{,},{,}};//初始化马的四个方向
int mapp[][];//小地图
int m,n,way;
void dfs(int x,int y)
{
if(x==&&y==n)
{
way++;//如果到达终点,路径总数++
return;
}
mapp[x][y]=;//标记已经走过的点
for(int i=;i<=;i++)
{
if(x+go[i][]<||x+go[i][]>m||y+go[i][]<||y+go[i][]>n)
{
continue;
}
if(mapp[x+go[i][]][y+go[i][]]==)
{
continue;
}//这两句都是判断被搜到的点是否合法
dfs(x+go[i][],y+go[i][]);//合法,dfs之!
mapp[x+go[i][]][y+go[i][]]=;//回溯(重新标记为0)
}
}
int main()
{
cin>>m>>n;
dfs(m,);
cout<<way;
return ;//调用函数解决问题即可!
}
具体做法代码里已经详细解释了,这里我重点讲一下回溯。
什么是回溯?
很简单,当我们搜到终点,或者是一个不合法的结果的时候,就要进行回溯,继续对别的点进行搜索。
不同于树,在地图中搜索,我们可能有好几种方法搜到同一个点。
我们上一次搜过一个点之后,再尝试别的方法,如果这个点没有被重新标记为没有走过,我们的程序就不会对它进行搜索,导致枚举总数不够,这也是回溯的必要性。
那么,怎么回溯?
首先看我们的dfs函数,它的特性是它是一个递归函数,就是自己嵌套自己,所以说,我们的程序执行起来大概是这样的:
第一次进行dfs的时候,进行第一次for循环,搜到了第一个点,进入第二层dfs,第二次for,第三层dfs……
假设我们进行到了第n次dfs,没有找到合法的点,这时就要回溯了。
注意,我们在进行到第n次dfs时,上面的第n-1个for循环并没有执行完,所以我们只需要在进行完第n次dfs之后,把所有变量还原到第n-1次的时候的大小,程序自动回到第n-1次for的时候,就可以再次使用这些变量而不受第n次搜索的影响。具体操作也很简单,下面是伪代码:
dfs(x+go[i][],y+go[i][]);//合法,dfs函数下方是回溯区域
mapp[x+go[i][]][y+go[i][]]=;//在dfs下面都是回溯区,你可以不止对一个变量进行回溯,可以是多个,你想回溯几个就回溯几个!
Part 3:我成为毒瘤出题人之后的一些感想与该题题解
众所周知,洛谷不光满足OIer们刷题的需求,我们甚至可以和同学或者小伙伴们互相出题来做做,一起进步,所以我就尝试性的出了一个题。(正好教练鼓励过我们自己出几个题)
但是同学们直呼毒瘤!!!
我们先看看这个题,这是网址https://www.luogu.com.cn/problem/U115344
我们先来看看这个题我故意埋的一个坑,可以注意到:输出样例中的theif win 和thief win(小偷获胜)的英文并不一样,有些没有注意到的同学就会被卡掉。
其次,由于题目数据比较小,所以我对时间复杂度和空间复杂度的要求提高了很多(截图中没有),我改成了100ms时间限制,1MB内存限制。
(这不是很毒瘤吧……)
不多BB,我们把它当做一个例题来讲:
首先,我们要初始化小地图,题目中给出的S是出发点,E是终点,这两个点需要标记好。P是漂移点,需要进行标记,F的话看您个人喜好,不标记也没啥事。
初始化被警察拦住的点。
之后,我们从出发点进行dfs,这次我们有时间限制,搜索树的高度限制为T+1,我们再开一个参数,如果这个参数比T要大,我们需要return。
走到P点,漂移数要+1,回溯时要-1,当前搜索高度(时间)-1。
如果搜到终点,比较搜到终点已经进行的漂移数,如果比之前的大,更新这个值。
最后,输出最大值即可。(这很简单嘛!)
//逮虾户De jaVu
//#include<zhangtao.std>
#include<iostream>
using namespace std;
int mapp[][];
char dd[][];
int go[][]={{,},{,},{-,},{,},{,-}};
int N,M,T,sx,sy,ex,ey,way,a,b,flag;
void dfs(int x,int y,int t,int drift)//x,y为坐标,t为时间,drift为已经进行的漂移数
{
if(t>T) return;//超出时间,return
if(x==ex&&y==ey)
{
if(drift>way)
{
way=drift;//更新最大值
}
flag=;//搜到终点,flag=1
return;
}
mapp[x][y]=;//标记已经走过
for(int i=;i<=;i++)
{
if(N<x+go[i][]||x+go[i][]<=||N<y+go[i][]||y+go[i][]<=) continue;
if(mapp[x+go[i][]][y+go[i][]]==) continue;//判断是否合法
t++;
if(dd[x+go[i][]][y+go[i][]]=='P') drift++;
dfs(x+go[i][],y+go[i][],t,drift);
mapp[x+go[i][]][y+go[i][]]=;//回溯区,路径标记为0
t--;//时间-1
if(dd[x+go[i][]][y+go[i][]]=='P') drift--;//如果走过的点是P,漂移数-1
}
}
int main()
{
cin>>N>>M>>T;
for(int i=;i<=N;i++)
{
for(int j=;j<=N;j++)
{
cin>>dd[i][j];
if(dd[i][j]=='S')
{
sx=i;
sy=j;
}
if(dd[i][j]=='E')
{
ex=i;
ey=j;
}//记录起始点和终点,初始化
}
}
for(int i=;i<=M;i++)
{
cin>>a>>b;
mapp[a][b]=;//记录路障点
}
if(ex==&&ey==)
{
cout<<"police win";
return ;//特判终点是否被路障标记
}
dfs(sx,sy,,);//进行搜索
if(flag==) cout<<"police win";//没搜到终点,输出答案
else cout<<"theif win"<<endl<<way;//搜到终点,输出方案数
return ;
}
代码注释已经很详细了,相信各位可以看懂,那么今天的分享就到这里了,希望我的分享能让大家对dfs算法有更深的理解!
老规矩——祝大家,身(少)体(掉)健(头)康(发)。
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