[问题2015S06]  设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换.

(1) 求证: 对任一非零向量 \(\alpha\in V\), \(U=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)\) 是包含 \(\alpha\) 的最小的 \(\varphi\)-不变子空间. 子空间 \(U\) 称为 \(\alpha\) 关于 \(\varphi\) 的循环子空间, \(\alpha\) 称为循环子空间 \(U\) 的循环向量. 若设 \(\dim U=m\), 则 \(\{\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{m-1}(\alpha)\}\) 是 \(U\) 的一组基.

(2) 利用 (1) 的结论证明 Cayley-Hamilton 定理.

(3) 求证: \(V\) 只有平凡的 \(\varphi\)-不变子空间当且仅当对任一非零向量 \(\alpha\in V\), \(\alpha\) 关于 \(\varphi\) 的循环子空间等于 \(V\).

(4) 证明: \(V\) 只有平凡的 \(\varphi\)-不变子空间当且仅当 \(\varphi\) 的特征多项式 \(f(\lambda)=|\lambda I_V-\varphi|\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式.

问题解答请在以下网址下载：http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0

[问题2015S06] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第七教学周）的更多相关文章

  1. [问题2015S01] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第二教学周）

    [问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, ...

  2. [问题2015S08] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2015S08]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) ...

  3. [问题2014S01] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第一教学周）

    问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ...

  4. [问题2014S09] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{d ...

  5. [问题2014A07] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第九教学周）

    [问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mat ...

  6. [问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

    问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) ...

  7. [问题2014S12] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十二教学周）

    [问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB ...

  8. 复旦高等代数 II（17级）每周一题

    本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十六教学周为止(根据法定节假日安排,中间个别周会适当地停止),每周的周末将公布1道思考题(共16道),供大家思考和解答.每周一题通过“ ...

  9. 复旦高等代数II（18级）每周一题

    本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十五教学周结束,每周的周末公布一道思考题(预计15道),供大家思考和解答.每周一题将通过“高等代数官方博客”(以博文的形式)和“高等代 ...

随机推荐

  1. 字符串格式化命令 sprintf

    原型 int sprintf( char *buffer, const char *format, [ argument] … ); 参数列表 buffer:char型指针,指向将要写入的字符串的缓冲 ...

  2. 20145334赵文豪 《Java程序设计》第4周学习总结

    20145334赵文豪 <Java程序设计>第4周学习总结 教材学习内容总结 第六章知识点总结 1-继承共同行为:如果在程序设计上存在着重复,那就需要修改,可以吧相同的程序代码提升(pul ...

  3. 一个简单驱动的makefile

    KVERS = $(shell uname -r) #Kernel modulesobj-m += hello.o build: kernel_modules kernel_modules: make ...

  4. Leetcode | Find Minimum in Rotated Sorted Array I && II

    Suppose a sorted array is rotated at some pivot unknown to you beforehand. (i.e., 0 1 2 4 5 6 7 migh ...

  5. ServletConfig对象和它在开发中的应用场

    package cn.itcast; import java.io.IOException; import java.io.PrintWriter; import java.util.Enumerat ...

  6. Code Snippet

    Code Snippet: http://msdn.microsoft.com/en-us/library/z41h7fat.aspx CodePlex.Snippets 4.0 - Visual S ...

  7. nba技能表

    球员名 主动技能名 主动技能效果 拆解技能名 拆解技能效果 巅峰-纳什 跑投三分 全队三分出手概率提高X%,但体力消耗增加Y% 稳固进攻 全队进攻增加X%,持续整场比赛 巅峰-科比 肉搏 对方全体行动 ...

  8. XML转换为对象操作类详解

    //XML转换为对象操作类 //一,XML与Object转换类 using System.IO; using System.Runtime.Serialization.Formatters.Binar ...

  9. 【转】Linux下怎样检查、如何查看某软件包是否已经安装？

    因为linux安装软件的方式比较多,所以没有一个通用的办法能查到某些软件是否安装了.总结起来就是这样几类: 1.rpm包安装的,可以用rpm -qa看到,如果要查找某软件包是否安装,用 rpm -qa ...

  10. 字节流和字符流（PrintStream类和PrintWiter类）

    要想输入和输出各种数据类型,通常要打印输入流PrintStream和PrintWriter.其中,PrintStream操作的是字节,PrintWriter操作的是字符. 1:PrintStream类 ...