NOIP欢乐模拟赛 T3 解题报告

3．小澳的葫芦

（calabash.cpp/c/pas）

【题目描述】

小澳最喜欢的歌曲就是《葫芦娃》。

一日表演唱歌，他尽了洪荒之力，唱响心中圣歌。

随之，小澳进入了葫芦世界。

葫芦世界有n个葫芦，标号为1~ n。n个葫芦由m条藤连接，每条藤连接了两个葫芦，这些藤构成了一张有向无环图。小澳爬过每条藤都会消耗一定的能量。

小澳站在1号葫芦上（你可以认为葫芦非常大，可以承受小澳的体重），他想沿着藤爬到n号葫芦上，其中每个葫芦只经过一次。

小澳找到一条路径，使得消耗的能量与经过的葫芦数的比值最小。

【输入格式】

输入文件名为calabash.in。

输入文件第一行两个正整数n,m，分别表示葫芦的个数和藤数。

接下来m行，每行三个正整数u,v,w，描述一条藤，表示这条藤由u连向v，小澳爬过这条藤需要消耗w点能量。

 

【输出格式】

输出文件名为calabash.out。

一行一个实数，表示答案（误差不超过 10^-3）。

 

 

【输入输出样例】

calabash.in	calabash.out
4 6 1 2 1 2 4 6 1 3 2 3 4 4 2 3 3 1 4 8	2.000

【输入输出样例说明】

有4种爬法：

1->4，消耗能量8，经过2个葫芦，比值为8/2=4。

1->2->4，消耗能量1+6=7，经过3个葫芦，比值为7/3≈2.33。

1->3->4，消耗能量2+4=6，经过3个葫芦，比值为6/3=2。

1->2->3->4，消耗能量1+3+4=8，经过4个葫芦，比值为8/4=2。

所以选第三种或第四种方案，答案为2。

【数据规模与约定】

测试点编号	n	m	特殊说明
1	2	1
2	100	99	除1外，所有葫芦的入度均为1
3	100	105	所有从1到n的路径经过的葫芦数相等
4	100	1000
5	100	1000
6	199	198	除1外，所有葫芦的入度均为1
7	200	231	所有从1到n的路径经过的葫芦数相等
8	200	2000
9	200	2000
10	200	2000

对于所有数据，小澳爬过每条藤消耗的能量不会超过10^3，且一定存在一条从1到n的路径。

—————————————————分割线———————————————

分析：

【algorithm1】  第一个测试点只有一条边，输出 w/2 就可以啦。  可以通过第 1 个测试点。

【algorithm2】  注意到“除 1 外，所有葫芦的入度均为 1”，也就是说，从 1 到 n 的路径只有 一条，输出这一条路径的长度与这条路径上的点数的比值就可以了。  可以通过第 1、2、6 个测试点。

【algorithm3】  对于这样一类特殊数据，“所有从 1 到 n 的路径经过的葫芦数相等”，也就 是说 1~n 的最短路就是最优路径，最短路的长度与路径上的点数的比值就是答 案。  可以通过第 1、2、3、6、7 个测试点。

【algorithm4】  另建一个起点 0，连接一条 0 到 1 长度为 0 的边，就此将问题转化为长度和 边数最小比值。这个问题的求解需要分数规划。  假设答案为 ans，对于任意一条由 k 条边组成的路径，有：  ( w₁ + w₂ + w₃ + …+w_k ) / k >= ans ；

转化一下：  ( w₁ + w₂ + w₃ + … + w_k ) >= ans * k ；  即 ( w₁ - ans ) + ( w₂ - ans ) + ( w₃ - ans ) + … + ( w_k - ans ) >= 0 。  于是就得到了这样一个算法：  二分答案 x，每次将每一条边的权值减去 x 求最短路，判断 1~n 的最短路是 否大于 0：若大于 0，则说明答案 ans>x；否则说明 ans<x。  这样可以通过所有测试点。

 #include "cstdio"
 #include "iostream"
 #include "vector"
 #include "queue"
 #include "cstring"

 using namespace std ;
 struct Edge { int to , next ;double val ,org; } ;//org原始的边权
 const int maxN =  ;
 const double INF = 1e20 ;
 const double eps = 1e- ;//误差范围 

 Edge e[ maxN <<  ] ;
 double Dis[ maxN ] ;
 bool vis[ maxN ] ;
 int head[ maxN ] ;

 int cnt , N , M ;

 queue<int> q;

 int INPUT ( ) {
         int x =  , f =  ; char ch = getchar ( ) ;
         while ( ch < '' || ch > '' ) { if ( ch == '-')f = -  ;ch = getchar ( ) ;}
         while ( ch >='' && ch <='' ) { x = ( x <<  ) + ( x <<  ) + ch - '' ; ch = getchar ( ) ;}
         return x * f ;
 }

 void Add_Edge ( const int x , const int y , const double val ) {
         e[ ++cnt ].to = y ;
         e[ cnt ].org = val ;
         e[ cnt ].next = head[ x ] ;
         head[ x ] = cnt ;
 }

 bool SPFA ( const double x ) {//纯SPFA算法
         memset ( vis , false , sizeof ( vis ) ) ;
         queue < int > Q ;
         for ( int i= ; i<=N ; ++i )
                 Dis[ i ] = INF ;
         for ( int i= ; i<=cnt ; ++i ) e[ i ].val = e[ i ].org - x ;
         Q.push(  ) ;
         vis[  ] = true ;
         Dis[  ] =  ;
         while ( !Q.empty( ) ) {
                 int t = Q.front ( ) ; Q.pop ( ) ; vis[ t ] = false ;
                 for ( int i=head[ t ] ; i ; i = e[ i ].next ) {
                         int temp = e[ i ].to ;
                         if ( Dis[ temp ] - eps > Dis[ t ] + e[ i ].val ) {
                                 Dis[ temp ] = Dis[ t ] + e[ i ].val ;
                                 if ( !vis[ temp ] ) {
                                         Q.push( temp ) ;
                                         vis[ temp ] = true ;
                                 }
                         }
                 }
         }

         return Dis[ N ] < -eps ;
 }

 int main ( ) {
         N = INPUT ( ), M = INPUT ( ) ;
         for ( int i= ; i<=M ; ++i ) {
                 int _x = INPUT ( ) , _y = INPUT( ) , _val = INPUT ( ) ;
                 Add_Edge ( _x , _y , _val ) ;
         }
         Add_Edge (  ,  ,  ) ;//加入0虚拟节点
         double l =  , r = 1e3 ;
         while ( r - l >= eps ) {//二分答案
                 double mid = ( l + r ) / 2.0 ;//2.0防止精度误差
                 if ( SPFA ( mid ) ) r = mid ;
                 else                l = mid ;
         }
         printf ( "%.3lf" , l ) ;
         return  ;
 } 

calabash

NOIP_RP++;

2016-10-08 21:20:05

(完)