9.3 A magic index in an array A[0.. .n-1] is defined to be an index such that A[i] = i. Given a sorted array of distinct integers, write a method to find a magic index, if one exists, in array A.
FOLLOW UP
What if the values are not distinct?

这道题定义了一个魔法序号,就是一个数组的序号等于该位置的值的时候,这个序号就是魔法序号,给了我们一个有序数组,让我们来找魔法序号。这里brute force的方法就不提了,因为没啥考察的目的,对于高效的查找方法我们就要首先考虑二分搜索法,首先我们来看这种方法,没啥特别的地方,套用一般的二分查找法的格式即可,参见代码如下:

  1. class Solution {
  2. public:
  3. int getMagicIdx(vector<int> &nums) {
  4. int left = , right = nums.size() - ;
  5. while (left <= right) {
  6. int mid = (left + right) / ;
  7. if (nums[mid] == mid) return mid;
  8. else if (nums[mid] > mid) right = mid - ;
  9. else left = mid + ;
  10. }
  11. return -;
  12. }
  13. };

这道题的Follow up是说如果数组由重复项怎么处理,那么传统的二分搜索法就会失效,因为下列这种情况可能存在:

-10 -5 2 2 3 4 9 12 13
0 1 3 4 5 6 8 9 10

这种情况符合题意,但是左右两边都会出现魔法序号,所以二分查找法会失效。那么我们难道又要用地毯式搜索了么,其实也不必,我们可以用一种类似于二分搜索法的递归方法来解决问题,就拿上面那个例子来说,第一次找到比较完中间点后,由于左右两边都会出现答案,所以我们左右半段要分别递归一下,这里我们可以加一个trick来优化算法,比如要递归左半段时,那么新的右边界就可以设为min(mid - 1, nums[mid]),同理递归右半段时,左边界可以设为max(mid + 1, nums[mid])。还有个小trick,就是如果左半段搜到了答案,那么直接返回即可,不用再搜右半段,因为题目让我们找一个就行了,没说要找出所有的Magic index,参见代码如下:

  1. // Follow up
  2. class Solution {
  3. public:
  4. int getMagicIdx(vector<int> &nums) {
  5. return getMagicIdxDFS(nums, , nums.size() - );
  6. }
  7. int getMagicIdxDFS(vector<int> &nums, int start, int end) {
  8. if (end < start) return -;
  9. int mid = (start + end) / ;
  10. if (mid == nums[mid]) return mid;
  11. int left = getMagicIdxDFS(nums, start, min(mid - , nums[mid]));
  12. if (left >= ) return left;
  13. int right = getMagicIdxDFS(nums, max(mid + , nums[mid]), end);
  14. return right;
  15. }
  16. };

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