100个裁判对n个选手做无并列排名问题探析

原题：n 个选手（n ≥ 3）参加花样自行车比赛，100 个裁判独立对各选手的表现给出无并列排名。已知对任意三个选手 A、B、C 和任意三个裁判 X、Y、Z 均不会出现如下的情形：
X 给出 A > C > B；Y 给出 B > A > C；Z 给出 C > B > A。（P > Q 表示 P 比 Q 排名靠前）
证明：存在所有选手的一种无并列排名，对任意两个选手 A 和 B，在该排名中若有 A > B，则至少有一半的裁判给出的排名中也有 A > B。

证：对任意两个选手 A 和 B，综合100个裁判给出的排名，会有一个排名统计对比结果，具体可分为如下三种情形：

(1). 给出 A > B 的裁判比给出 B > A 的裁判多，此情形称为统计排名 A 比 B 靠前，简记为 A >> B；

(2). 给出 B > A 的裁判比给出 A > B 的裁判多，此情形称为统计排名 B 比 A 靠前，简记为 B >> A；

(3). 给出 A > B 的裁判数和给出 B > A 的裁判数相等，此情形称为统计排名 A 和 B 相等，简记为 A == B。

为表述方便，把 A >> B 或 A == B 简记为 A >>== B。

前两种情形统称为统计排名不等的情形。n 个选手中任意两个选手都会有一个统计排名对比结果，要么不等，要么相等。本题要证明的结论实际就是存在一种无并列排名能顺应多数裁判的判断。一个自然的构造这种排名的方法是：对每一对统计排名对比结果为不等的选手 A 和 B，若 A >> B，则把 A 排在 B 的前面，即令 A > B；否则，把 B 排在 A 的前面，即令 B > A。

>> 关系如果出现环路的情形，如 P₁ >> P₂，P₂ >> P₃，...，P_k-1 >> P_k，P_k >> P₁，就无法构造出符合要求的排名，因为，由 P₁ >> P₂ 有 P₁ > P₂；由 P₂ >> P₃ 有 P₂ > P₃；...；由 P_k >> P₁ 有 P_k > P₁，综合起来会有 P₁ > P₂ > ... > P_k > P₁，矛盾。因此，为使得所证命题成立，必然有如下结论成立：

引理：在题设条件下，对于任意三个选手 A、B、C，若满足 A >> B 和 B >> C，则必有 A >> C。

用反证法来证明这个引理，假设所有裁判给出的排名中，存在三个选手 A、B、C，同时满足 A >> B，B >> C，C >>== A。

设有 m 个裁判给出 C > A，由 C >>== A 知，m ≥ 50。由 A >> B 知，这 m 个裁判中，能给出 B > A 的至多有49个，因此至少有一个必然给出 A > B，即至少有一个裁判给出 C > A > B，记其中之一为 Z。

同样由 B >> C 知，这 m 个裁判中至少有一个给出 B > C > A，记其中之一为 Y。

而综合 A >> B 和 B >> C 可知，至少有 51 - 49 = 2 个裁判给出 A > B > C，记其中之一为 X。

这样就找到了三个裁判 X、Y、Z 和三个选手 A、B、C 与题设的约束条件矛盾。故引理成立。

引理说明，>> 关系，和 > 关系一样，具有传递性。

以下用数学归纳法来证明存在一种无并列排名能顺应多数裁判的判断。

当 n = 3 时，用 A、B、C 指代三个选手，有以下几种情形：

(I). 两两统计排名对比结果全是相等关系

即有 A == B，B == C，C == A，此时，三个选手的任意一个无并列排名（如 A > B > C）都满足题设要求；

(II). 两两统计排名对比结果恰有一个是不等关系

不妨设 A >> B，B == C，C == A，此时， A > B > C 和 C > A > B 这两种无并列排序都满足题设要求；

(III). 两两统计排名对比结果恰有两个是不等关系

此情形，不能设 A >> B，B >> C（因为由引理会有 A >> C）。不失一般性，可设 A >> B，A >> C，B == C，此时，A > B > C 和 A > C > B 这两种无并列排序都满足题设要求；

(IV). 两两统计排名对比结果全是不等关系

不妨设 A >> B，B >> C，A >> C，此时，无并列排序 A > B > C 满足题设要求。

综合上述四种情形，可知 n = 3 时，命题成立。假设 n ≤ k 时命题成立，来考虑 n = k + 1 的情形。

设 k + 1 个选手为 P₁、P₂、...、P_k、Q ，且排名 P₁ > P₂ > ... > P_k 满足题设要求。在此基础上考虑 Q 与其他 k 个选手的统计排名对比结果，有以下一些情形：

[1]. P_i >>== Q, i = 1,2,...,k

此时，P₁ > P₂ > ... > P_k > Q 满足题设要求；

[2]. Q >>== P_i, i = 1,2,...,k

此时，Q > P₁ > P₂ > ... > P_k 满足题设要求；

[3]. P_r >> Q，Q >> P_s，1 ≤ r < s ≤ k

此时，由引理有 P_r >> P_s，由此可知需要把 Q 排在 P_r 和 P_s 之间。在排名 P₁ > P₂ > ... > P_k 中，P_r 和 P_s 之间有 m = s - r - 1 (≤ k - 2) 个选手，根据 m 的取值不同又细分为如下两种子情形：

[3-1]. m = 0

此时 s = r + 1，即 P_r 和 P_s 相邻，直接把 Q 排在 P_r 和 P_s 之间，得到 P₁、P₂、...、P_k、Q 的一个排名：

P₁ > ... > P_r > Q > P_s > ... > P_k      ①

若排名 ① 中在 P_s 之后还有选手（即 s < k 的情形），任取其一，记为 P_t，则必有 Q >>== P_t（不然，由 P_t >> Q 和 Q >> P_s，有P_t >> P_s，从而导致排名 P₁ > P₂ > ... > P_k 因 P_s > P_t 而不满足题设要求，这与假设相矛盾）；

同样，若排名 ① 中在 P_r 之前还有选手（即 r > 1 的情形），任取其一，记为 P_g，则必有 P_g >>== Q（不然，由 P_r >> Q 和 Q >> P_g，有P_r >> P_g，从而导致排名 P₁ > P₂ > ... > P_k 因 P_r > P_g 而不满足题设要求，这与假设相矛盾） 。

综上可知，当 m = 0 时，可知排名 ① 满足题设要求。

[3-2]. m > 0

此时，m + 1 ≤ k - 1，由假设可知 P_r+1、...、P_s-1 和 Q 这 m + 1 个选手存在一个满足题设要求的排名，记为 H₁ > H₂ > ... > H_m > H_m+1，在 H₁、...、H_m+1 中有一个是 Q。于是可以得到 P₁、P₂、...、P_k、Q 的一个排名：

P₁ > ... > P_r > H₁ > H₂ > ... > H_m > H_m+1 > P_s > ... > P_k     ②

若排名 ② 中在 P_s 之后还有选手（即 s < k 的情形），任取其一，记为 P_t，则必有 Q >>== P_t（不然，由 P_t >> Q 和 Q >> P_s，有P_t >> P_s，从而导致排名 P₁ > P₂ > ... > P_k 因 P_s > P_t 而不满足题设要求，这与假设相矛盾）；

同样，若排名 ② 中在 P_r 之前还有选手（即 r > 1 的情形），任取其一，记为 P_g，则必有 P_g >>== Q（不然，由 P_r >> Q 和 Q >> P_g，有P_r >> P_g，从而导致排名 P₁ > P₂ > ... > P_k 因 P_r > P_g 而不满足题设要求，这与假设相矛盾） 。

综上可知，当 m > 0 时，可知排名 ② 满足题设要求。

综上分析，n = k + 1 的情形存在 P₁、P₂、...、P_k、Q 的一个排名满足题设要求。原命题证毕。

以下为拓展分析部分。

拓展问题一：上面对原题的分析中证明了 >> 关系有传递性。== 关系以及 >>== 关系是否也都有传递性？

考虑 n = 3 的情形，对选手 A、B、C，令一半的裁判给出排名 C > A > B，而令另一半的裁判给出排名 B > C > A。易知 A == B，B == C，C >> A，满足题设要求。由这个实例可知，== 关系以及 >>== 关系都不具有传递性。

拓展问题二：原题中让证明存在一个所有选手的无并列排名，对任意两个选手 A 和 B，在该排名中若有 A > B，则必有 A >>== B。请问所有裁判给出的排名中是否一定也有这样一个排名？

考虑 n = 4 的情形，对选手 P、Q、R、S，令 第一组 49 个裁判给出排名 P > Q > S > R，第二组 49 个裁判给出 Q > P > R > S，第三组的两个裁判给出 R > S > P > Q。

对 P、Q、R，第一组给出 P > Q > R，第二组给出 Q > P > R，即 R 在 P、Q、R 三者中两组裁判都认为排名最靠后，对照原题的题设要求，可知是符合要求的。

同样，对 P、Q、S，第一组给出 P > Q > S，第二组给出 Q > P > S，即 S 在 P、Q、S 三者中两组裁判都认为排名最靠后，可知也是符合题设要求的。

对 P、R、S，第一组给出 P > S > R，第二组给出 P > R > S，即 P 在 P、R、S 三者中两组裁判都认为排名最靠前，对照原题的题设要求，可知是符合要求的。

同样，对 Q、R、S，第一组给出 Q > S > R，第二组给出 Q > R > S，即 Q 在 Q、R、S 三者中两组裁判都认为排名最靠前，可知也是符合题设要求的。

易知 P >> Q，Q >> R，R >> S，满足题设要求（即顺应多数裁判的判断）的排名只有 P > Q > R > S，而 100 个裁判中没有一个给出这个排名。由这个实例可知，拓展问题二的答案是否定的。

拓展问题三：原题中若允许某三个裁判 X、Y、Z 对某三个选手 A、B、C 的排名分别为 X 给出 A > C > B；Y 给出 B > A > C；Z 给出 C > B > A。请问一定会出现 >> 关系环路的情形吗？

考虑 n = 3 的情形，对选手 A、B、C，令 98 个裁判给出排名 A > C > B，一个裁判给出排名 B > A > C，还有一个裁判给出排名 C > B > A。易知 A >> C，C >> B，A >> B，并没有出现 >> 关系环路的情形。这个实例说明，拓展问题三的答案是否定的。