备战秋招之十大排序——O(n^2)级排序算法

一、冒泡排序

冒泡排序是入门级的算法，但也有一些有趣的玩法。通常来说，冒泡排序有三种写法：

1. 一边比较一边向后两两交换，将最大值 / 最小值冒泡到最后一位；
2. 经过优化的写法：使用一个变量记录当前轮次的比较是否发生过交换，如果没有发生交换表示已经有序，不再继续排序；
3. 进一步优化的写法：除了使用变量记录当前轮次是否发生交换外，再使用一个变量记录上次发生交换的位置，下一轮排序时到达上次交换的位置就停止比较

1.1、第一种写法

public static void bubbleSort(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                // 如果左边的数大于右边的数，则交换，保证右边的数字最大
                swap(arr, j, j + 1);
            }
        }
    }
}
// 交换元素
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

最外层的 for 循环每经过一轮，剩余数字中的最大值就会被移动到当前轮次的最后一位，中途也会有一些相邻的数字经过交换变得有序。总共比较次数是 (n-1)+(n-2)+(n-3)+…+1(n−1)+(n−2)+(n−3)+…+1。

这种写法相当于相邻的数字两两比较，并且规定：“谁大谁站右边”。经过 n-1n−1 轮，数字就从小到大排序完成了。整个过程看起来就像一个个气泡不断上浮，这也是“冒泡排序法”名字的由来。

1.2、第二种写法

在第一种的基础上改良而来

public static void bubbleSort(int[] arr) {
    // 初始时 swapped 为 true，否则排序过程无法启动
    boolean swapped = true;
    for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
        // 如果没有发生过交换，说明剩余部分已经有序，排序完成
        if (!swapped) break;
        // 设置 swapped 为 false，如果发生交换，则将其置为 true
        swapped = false;
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                // 如果左边的数大于右边的数，则交换，保证右边的数字最大
                swap(arr, j, j + 1);
                // 表示发生了交换
                swapped = true;
            }
        }
    }
}
// 交换元素
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

最外层的 for 循环每经过一轮，剩余数字中的最大值仍然是被移动到当前轮次的最后一位。这种写法相对于第一种写法的优点是：如果一轮比较中没有发生过交换，则立即停止排序，因为此时剩余数字一定已经有序了。

1.3、第三种写法

比较少见，在第二种的基础上进一步优化

public static void bubbleSort(int[] arr) {
    boolean swapped = true;
    // 最后一个没有经过排序的元素的下标
    int indexOfLastUnsortedElement = arr.length - 1;
    // 上次发生交换的位置
    int swappedIndex = -1;
    while (swapped) {
        swapped = false;
        for (int i = 0; i < indexOfLastUnsortedElement; i++) {
            if (arr[i] > arr[i + 1]) {
                // 如果左边的数大于右边的数，则交换，保证右边的数字最大
                swap(arr, i, i + 1);
                // 表示发生了交换
                swapped = true;
                // 更新交换的位置
                swappedIndex = i;
            }
        }
        // 最后一个没有经过排序的元素的下标就是最后一次发生交换的位置
        indexOfLastUnsortedElement = swappedIndex;
    }
}
// 交换元素
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

经过再一次的优化，代码看起来就稍微有点复杂了。最外层的 while 循环每经过一轮，剩余数字中的最大值仍然是被移动到当前轮次的最后一位。

在下一轮比较时，只需比较到上一轮比较中，最后一次发生交换的位置即可。因为后面的所有元素都没有发生过交换，必然已经有序了。

当一轮比较中从头到尾都没有发生过交换，则表示整个列表已经有序，排序完成。

1.4、时间复杂度&空间复杂度

空间复杂度为 O(1)，时间复杂度为 O(n^2)，

第二种、第三种冒泡排序由于经过优化，最好的情况下只需要 O(n)的时间复杂度。

最好情况：在数组已经有序的情况下，只需遍历一次，由于没有发生交换，排序结束。

最差情况：数组顺序为逆序，每次比较都会发生交换。

但优化后的冒泡排序平均时间复杂度仍然是 O(n^2)，所以这些优化对算法的性能并没有质的提升。

二、选择排序

2.1、一元选择排序

选择排序的思想是：双重循环遍历数组，每经过一轮比较，找到最小元素的下标，将其交换至首位。

public static void selectionSort(int[] arr) {
    int minIndex;
    for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
        minIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
            if (arr[minIndex] > arr[j]) {
                // 记录最小值的下标
                minIndex = j;
            }
        }
        // 将最小元素交换至首位
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[minIndex];
        arr[minIndex] = temp;
    }
}

冒泡排序和选择排序有什么异同？

相同点：

• 都是两层循环，时间复杂度都为 O(n^2);
• 都只使用有限个变量，空间复杂度 O(1)。

不同点：

• 冒泡排序在比较过程中就不断交换；而选择排序增加了一个变量保存最小值 / 最大值的下标，遍历完成后才交换，减少了交换次数。
  
  事实上，冒泡排序和选择排序还有一个非常重要的不同点，那就是：
  
  冒泡排序法是稳定的，选择排序法是不稳定的。
  
  想要理解这点不同，我们先要知道什么是排序算法的稳定性。

2.2、排序算法的稳定性

假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i] = r[j]，且 r[i] 在 r[j] 之前，而在排序后的序列中，r[i] 仍在 r[j] 之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

所以，

冒泡排序中，只有左边的数字大于右边的数字时才会发生交换，相等的数字之间不会发生交换，所以它是稳定的。

而选择排序中，最小值和首位交换的过程可能会破坏稳定性。比如数列：[2, 2, 1]，在选择排序中第一次进行交换时，原数列中的两个 2 的相对顺序就被改变了，因此，我们说选择排序是不稳定的

排序算法的稳定性有什么意义呢，其实它只在一种情况下有意义：当要排序的内容是一个对象的多个属性，且其原本的顺序存在意义时，如果我们需要在二次排序后保持原有排序的意义，就需要使用到稳定性的算法。

举个例子，如果我们要对一组商品排序，商品存在两个属性：价格和销量。当我们按照价格从高到低排序后，要再按照销量对其排序，这时，如果要保证销量相同的商品仍保持价格从高到低的顺序，就必须使用稳定性算法。

当然，算法的稳定性与具体的实现有关。在修改比较的条件后，稳定性排序算法可能会变成不稳定的。如冒泡算法中，如果将「左边的数大于右边的数，则交换」这个条件修改为「左边的数大于或等于右边的数，则交换」，冒泡算法就变得不稳定了。

同样地，不稳定排序算法也可以经过修改，达到稳定的效果。思考一下，选择排序算法如何实现稳定排序呢？

实现的方式有很多种，这里给出一种最简单的思路：新开一个数组，将每轮找出的最小值依次添加到新数组中，选择排序算法就变成稳定的了。

但如果将寻找最小值的比较条件由arr[minIndex] > arr[j]修改为arr[minIndex] >= arr[j]，即使新开一个数组，选择排序算法依旧是不稳定的。所以分析算法的稳定性时，需要结合具体的实现逻辑才能得出结论，我们通常所说的算法稳定性是基于一般实现而言的。

2.3、二元选择排序

既然每轮遍历时找出了最小值，何不把最大值也顺便找出来呢？这就是二元选择排序的思想。

使用二元选择排序，每轮选择时记录最小值和最大值，可以把数组需要遍历的范围缩小一倍。

public static void selectionSort2(int[] arr) {
    int minIndex, maxIndex;
    // i 只需要遍历一半
    for (int i = 0; i < arr.length / 2; i++) {
        minIndex = i;
        maxIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < arr.length - i; j++) {
            if (arr[minIndex] > arr[j]) {
                // 记录最小值的下标
                minIndex = j;
            }
            if (arr[maxIndex] < arr[j]) {
                // 记录最大值的下标
                maxIndex = j;
            }
        }
        // 如果 minIndex 和 maxIndex 都相等，那么他们必定都等于 i，且后面的所有数字都与 arr[i] 相等，此时已经排序完成
        if (minIndex == maxIndex) break;
        // 将最小元素交换至首位
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[minIndex];
        arr[minIndex] = temp;
        // 如果最大值的下标刚好是 i，由于 arr[i] 和 arr[minIndex] 已经交换了，所以这里要更新 maxIndex 的值。
        if (maxIndex == i) maxIndex = minIndex;
        // 将最大元素交换至末尾
        int lastIndex = arr.length - 1 - i;
        temp = arr[lastIndex];
        arr[lastIndex] = arr[maxIndex];
        arr[maxIndex] = temp;
    }
}

我们使用 minIndex 记录最小值的下标，maxIndex 记录最大值的下标。每次遍历后，将最小值交换到首位，最大值交换到末尾，就完成了排序。

由于每一轮遍历可以排好两个数字，所以最外层的遍历只需遍历一半即可。

二元选择排序中有一句很重要的代码，它位于交换最小值和交换最大值的代码中间：

if (maxIndex == i) maxIndex = minIndex;

这行代码的作用处理了一种特殊情况：如果最大值的下标等于 i，也就是说 arr[i] 就是最大值，由于 arr[i] 是当前遍历轮次的首位，它已经和 arr[minIndex] 交换了，所以最大值的下标需要跟踪到 arr[i] 最新的下标 minIndex。

2.4、二元选择排序的效率

在二元选择排序算法中，数组需要遍历的范围缩小了一倍。那么这样可以使选择排序的效率提升一倍吗？

从代码可以看出，虽然二元选择排序最外层的遍历范围缩小了，但 for 循环内做的事情翻了一倍。也就是说二元选择排序无法将选择排序的效率提升一倍。但实测会发现二元选择排序的速度确实比选择排序的速度快一点点，它的速度提升主要是因为两点：

• 在选择排序的外层 for 循环中，i 需要加到 arr.length - 1 ，二元选择排序中 i 只需要加到 arr.length / 2
• 在选择排序的内层 for 循环中，j 需要加到 arr.length ，二元选择排序中 j 只需要加到arr.length - i
  
  并且，在二元选择排序中，我们可以做一个剪枝优化，当 minIndex == maxIndex 时，说明后续所有的元素都相等，就好比班上最高的学生和最矮的学生一样高，说明整个班上的人身高都相同了。此时已经排序完成，可以提前跳出循环。通过这个剪枝优化，对于相同元素较多的数组，二元选择排序的效率将远远超过选择排序。

2.5、时间复杂度&空间复杂度

前文已经说到，选择排序使用两层循环，时间复杂度为 O(n^2); 只使用有限个变量，空间复杂度 O(1)。二元选择排序虽然比选择排序要快，但治标不治本，二元选择排序中做的优化无法改变其时间复杂度，二元选择排序的时间复杂度仍然是 O(n^2)；只使用有限个变量，空间复杂度 O(1)。

三、插入排序

插入排序的思想非常简单，生活中有一个很常见的场景：在打扑克牌时，我们一边抓牌一边给扑克牌排序，每次摸一张牌，就将它插入手上已有的牌中合适的位置，逐渐完成整个排序。

插入排序有两种写法：

• 交换法：在新数字插入过程中，不断与前面的数字交换，直到找到自己合适的位置。
• 移动法：在新数字插入过程中，与前面的数字不断比较，前面的数字不断向后挪出位置，当新数字找到自己的位置后，插入一次即可。

3.1、交换法插入排序

public static void insertSort(int[] arr) {
    // 从第二个数开始，往前插入数字
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        // j 记录当前数字下标
        int j = i;
        // 当前数字比前一个数字小，则将当前数字与前一个数字交换
        while (j >= 1 && arr[j] < arr[j - 1]) {
            swap(arr, j, j - 1);
            // 更新当前数字下标
            j--;
        }
    }
}
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

当数字少于两个时，不存在排序问题，当然也不需要插入，所以我们直接从第二个数字开始往前插入。

整个过程就像是已经有一些数字坐成了一排，这时一个新的数字要加入，这个新加入的数字原本坐在这一排数字的最后一位，然后它不断地与前面的数字比较，如果前面的数字比它大，它就和前面的数字交换位置。

3.2、移动法插入排序

可以发现，在交换法插入排序中，每次交换数字时，swap 函数都会进行三次赋值操作。但实际上，新插入的这个数字并不一定适合与它交换的数字所在的位置。也就是说，它刚换到新的位置上不久，下一次比较后，如果又需要交换，它马上又会被换到前一个数字的位置。

由此，我们可以想到一种优化方案：让新插入的数字先进行比较，前面比它大的数字不断向后移动，直到找到适合这个新数字的位置后，新数字只做一次插入操作即可。

这种方案我们需要把新插入的数字暂存起来，代码如下：

public static void insertSort(int[] arr) {
    // 从第二个数开始，往前插入数字
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        int currentNumber = arr[i];
        int j = i - 1;
        // 寻找插入位置的过程中，不断地将比 currentNumber 大的数字向后挪
        while (j >= 0 && currentNumber < arr[j]) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            j--;
        }
        // 两种情况会跳出循环：1. 遇到一个小于或等于 currentNumber 的数字，跳出循环，currentNumber 就坐到它后面。
        // 2. 已经走到数列头部，仍然没有遇到小于或等于 currentNumber 的数字，也会跳出循环，此时 j 等于 -1，currentNumber 就坐到数列头部。
        arr[j + 1] = currentNumber;
    }
}

整个过程就像是已经有一些数字坐成了一排，这时一个新的数字要加入，所以这一排数字不断地向后腾出位置，当新的数字找到自己合适的位置后，就可以直接坐下了。重复此过程，直到排序结束。

分析可知，插入排序的过程不会破坏原有数组中相同关键字的相对次序，所以插入排序是一种稳定的排序算法。

3.3、时间复杂度&空间复杂度

插入排序过程需要两层循环，时间复杂度为 O(n^2)；只需要常量级的临时变量，空间复杂度为 O(1)。

四、小结

本章我们介绍了三种基础排序算法：冒泡排序、选择排序、插入排序。

冒泡排序

冒泡排序有两种优化方式：

• 记录当前轮次是否发生过交换，没有发生过交换表示数组已经有序；
• 记录上次发生交换的位置，下一轮排序时只比较到此位置。

选择排序

选择排序可以演变为二元选择排序：

• 二元选择排序：一次遍历选出两个值——最大值和最小值；
• 二元选择排序剪枝优化：当某一轮遍历出现最大值和最小值相等，表示数组中剩余元素已经全部相等。

插入排序

插入排序有两种写法：

• 交换法：新数字通过不断交换找到自己合适的位置；
• 移动法：旧数字不断向后移动，直到新数字找到合适的位置。

相同点

• 时间复杂度都是 O(n^2)，空间复杂度都是 O(1)。
• 都需要采用两重循环。

不同点

• 选择排序是不稳定的，冒泡排序、插入排序是稳定的；
• 在这三个排序算法中，选择排序交换的次数是最少的；
• 在数组几乎有序的情况下，插入排序的时间复杂度接近线性级别。