强化学习读书笔记 - 09 - on-policy预测的近似方法

参照

需要了解强化学习的数学符号，先看看这里：

强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号

这一章开始了第二部门 - 近似解决方案

近似方法的重要性

我们先看看传统方法中存在的问题：

不适用复杂的环境。主要原因是状态和行动太多，策略需要大量空间来记忆策略价值。
环境可能是不稳定的，过去的经验不能适用于未来的情况。需要一个通用性的方法来更新策略价值。
策略价值是一个数值，缺乏通用性。期望有一个通用的方法来计算策略价值。

所以对近似预测方法的理解是，找到一个通用的方法$\hat{v}(s, \theta)$。
数学表示
\[
\hat{v}(s, \theta) \approx v_{\pi}(s) \\
where \\
\theta \text{ - a weight vector} \\
\theta \doteq (\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n)^T
\]

解释
近似预测方法是指求策略的状态价值的近似值。
求策略的行动状态价值的近似值叫做近似控制方法(Control Methods)(下一章的内容)。

近似预测方法的目标

首先，我们需要找到一个判断近似预测方法质量的计算公式。

价值均方误差（Mean Squared Value Error）
\[
MSVE(\theta) = \sum_{s \in \mathcal{S}} d(s) [v_{\pi} - \hat{v}(s, \theta)]^2 \\
where \\
d(s) \text{ - on-policy distribution, the fraction of time spent in s under the target policy } \pi \\
\]

在情节性任务中
\[
\eta(s) = h(s) + \sum_{\bar{s}} \eta(\bar{s}) \sum_{a} \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a), \ \forall s \in \mathcal{S} \\
d(s) = \frac{\eta(s)}{\sum_{s'} \eta(s')} \\
where \\
\eta(s) \text{ - the number of time steps spent in state s in a single episode} \\
h(s) \text{ - time spent in a state s if episodes start in it}
\]
在连续性任务中
\[
d(s) = \text{ the stationary distribution under } \pi \\
\]

解释：
$\eta(s) = h(s) + \sum_{\bar{s}} \eta(\bar{s}) \sum_{a} \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a), \ \forall s \in \mathcal{S}$
状态s的发生时间（次数） = 在情节中状态s发生在开始的时间（次数） + 状态s发生在其它的时间（次数）

随机梯度递减方法（Stochastic gradient descend method）

那么如何求$\theta$呢？一个常见的方法是通过梯度递减的方法，迭代的求解$\theta$。

随机梯度递减算法

Stochastic gradient descend
\[
\begin{align}
\theta_{t+1}
& \doteq \theta_{t} - \frac{1}{2} \alpha \nabla [v_{\pi}(S_t) - \hat{v}(S_t, \theta_t)]^2 \\
& = \theta_{t} + \alpha [v_{\pi}(S_t) - \hat{v}(S_t, \theta_t)] \nabla \hat{v}(S_t, \theta_t) \\
\end{align} \\
where \\
\nabla f(\theta) \doteq \left ( \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_1}, \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_2}, \cdots, \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_n} \right )^T \\
\alpha \text{ - the step size, learning rate}
\]

解释
这个方法可以在多次迭代后，让$\theta$最优。
$v_{\pi}(S_t)$是实际值。
$\hat{v}(S_t, \theta_t)$是当前计算值。
随机梯度递减方法通过误差（实际值 - 当前计算值）接近最优值的方法。
比较麻烦的是：如何求$\nabla \hat{v}(S_t, \theta_t)$。
传统的方法是求$v_{\pi}(s), q_{\pi}(s, a)$，在近似方法中变成了求$\theta, \hat{v}(s, \theta), \hat{q}(s, a,\theta)$。

蒙特卡洛

算法描述

Input: the policy $\pi$ to be evaluated
Input: a differentiable function $\hat{v} : \mathcal{S} \times \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$

Initialize value-function weights $\theta$ arbitrarily (e.g. $\theta = 0$)
Repeat (for each episode):
Generate an episode $S_0, A_0, R_1 ,S_1 ,A_1, \cdots ,R_t ,S_t$ using $\pi$
For $t = 0, 1, \cdots, T - 1$
$\theta \gets \theta + \alpha [G_t -\hat{v}(S_t, \theta)] \nabla \hat{v}(S_t, \theta)$

半梯度递减方法（Semi-gradient method）

之所以叫半梯度递减的原因是TD(0)和n-steps TD计算价值的公式不是精确的（而蒙特卡罗方法是精确的）。

半梯度下降(Semi-gradient TD(0))

算法描述

Input: the policy $\pi$ to be evaluated
Input: a differentiable function $\hat{v} : S^+ \times \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ such that $\hat{v}(terminal, \dot \ ) = 0$

Initialize value-function weights $\theta$ arbitrarily (e.g. $\theta = 0$)
Repeat (for each episode):
Initialize $\mathcal{S}$
Repeat (for each step of episode):
Choose $A \sim \pi(\dot |S) $
Take action $A$, observe $R, S'$
$\theta \gets \theta + \alpha [R + \gamma \hat{v}(S', \theta) -\hat{v}(S', \theta)] \nabla \hat{v}(S, \theta)$
$S \gets S'$
Until $S'$ is terminal

n-steps TD

请看原书，不做拗述。

特征选择

线性方程的定义

\[
\phi(s) \doteq (\phi_1(s), \phi_2(s), \dots, \phi_n(s))^T \\
\hat{v} \doteq \theta^T \phi(s) \doteq \sum_{i=1}^n \theta_i \phi_i(s)
\]
$\phi(s)$ 为特征函数。
这里讨论特征函数的通用化定义方法。

多项式基(polynomials basis)

$s$的每一个维度都可以看成一个特征。多项式基的方法是使用$s$的高维多项式作为新的特征。
比如：二维的$s = (s_1, s_2)$，可以选择多项式为$(1, s_1, s_2, s_1s_2)$或者$(1, s_1, s_2, s_1s_2, s_1^2, s_2^2, s_1s_2^2, s_1^2s_2, s_1^2s_2^2)$

多项式基方法的通用数学表达：
\[
\phi_i(s) = \prod_{j=1}^d s_j^{C_{i,j}} \\
where \\
s = (s_1,s_2,\cdots,s_d)^T \\
\phi_i(s) \text{ - polynomials basis function}
\]

傅里叶基(Fourier basis)

傅里叶基方法的通用数学表达：
\[
\phi_i(s) = \cos(\pi c^i \dot s), \ s \in [0,1)] \\
where \\
c^i = (x_1^i, c_2^i, \cdots, c_d^i)^T, \ with \ c_j^i \in \{0, \cdots, N\} \ for \ j = 1, \cdots, d \ and \ i = 0, \cdots, (N + 1)^d
\]

径向基(Radial Basis)

径向基方法的通用数学表达：
\[
\phi_i(s) \doteq exp \left ( - \frac{\lVert s-c_i \rVert ^2 }{2 \sigma_i^2} \right )
\]

最小二乘法TD(Least-Squares TD)

Input: feature representation $\phi(s) \in \mathbb{R}^n, \forall s \in \mathcal{S}, \phi(terminal) \doteq 0$

$\hat{A^{-1}} \gets \epsilon^{-1} I \qquad \text{An } n \times n matrix $
$\hat{b} \gets 0$
Repeat (for each episode):
Initialize S; obtain corresponding $\phi$
Repeat (for each step of episode):
Choose $A \sim \pi(\dot \ | S)$
Take action $A$, observer $R, S'$; obtain corresponding $\phi'$
$v \gets \hat{A^{-1}}^T (\phi - \gamma \phi')$
$\hat{A^{-1}} \gets \hat{A^{-1}} - (\hat{A^{-1}}\phi) v^T / (1+v^T\phi)$
$\hat{b} \gets \hat{b} + R \phi$
$\theta \gets \hat{A^{-1}} \hat{b}$
$S \gets S'; \phi \gets \phi'$
until S' is terminal