[您有新的未分配科技点]可，可，可持久化！？------0-1Trie和可持久化Trie普及版讲解

这一次，我们来了解普通Trie树的变种：0-1Trie以及在其基础上产生的可持久化Trie（其实，普通的Trie也可以可持久化，只是不太常见）

先简单介绍一下0-1Trie：一个0-1Trie节点只有两个子节点，分别代表0和1；从根节点开始，第一层代表限制的最高位，依次往下直到最底层，代表二进制第0位。

0-1Trie上的一条链所表示的数字，就是Trie树中的一个数字。0-1Trie除了节点和插入方式与普通的Trie树略有不同之外，其他操作都是和Trie树完全一样的。在维护这个节点插入过的数的个数size之后，0-1Trie甚至可以做一些平衡树的题……

下面给2道比较简单的例题：

bzoj3689 异或之 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3689

bzoj3224 普通平衡树 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224

值得注意的是，0-1Trie无法处理负权值，因此，我们可以给每个数加上一个大的修正值delta，使得所有值都成为非负的。最后我们在减去delta即可。

下面给出0-1Trie版的普通平衡树代码，很短，但是的确可以AC：

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int inf=0x7fffffff,delta=;
 LL bin[];
 struct Trie
 {
     Trie *ch[];int size;
     Trie(){size=;ch[]=ch[]=NULL;}
 }*null=new Trie(),*root;
 inline Trie* newTrie(){Trie *o=new Trie();o->ch[]=o->ch[]=null;return o;}
 inline void insert(int x)
 {
     Trie *rt=root;
     for(int i=;~i;i--)
     {
         int d=(x&bin[i])>>i;
         if(rt->ch[d]==null)rt->ch[d]=newTrie();
         rt=rt->ch[d],rt->size++;
     }
 }
 inline void del(int x)
 {
     Trie *rt=root;
     for(int i=;~i;i--)
         rt=rt->ch[(x&bin[i])>>i],rt->size--;
 }
 inline int getrank(int x)
 {
     Trie *rt=root;int ret=;
     for(int i=;~i;i--)
     {
         if((x&bin[i])>>i)ret+=rt->ch[]->size;
         rt=rt->ch[(x&bin[i])>>i];
     }
     return ret;
 }
 inline int getval(int rank)
 {
     Trie *rt=root;int ret=;
     for(int i=;~i;i--)
     {
         if(rt->ch[]->size>=rank)rt=rt->ch[];
         else rank-=rt->ch[]->size,ret|=bin[i],rt=rt->ch[];
     }
     return ret;
 }
 int main()
 {
     bin[]=;for(int i=;i<=;i++)bin[i]=bin[i-]<<;
     root=newTrie();null->ch[]=null->ch[]=null;
     int m,opt,x;scanf("%d",&m);
     while(m--)
     {
         scanf("%d%d",&opt,&x);
         switch(opt)
         {
             case :insert(x+delta);break;
             case :del(x+delta);break;
             case :printf("%d\n",getrank(x+delta)+);break;
             case :printf("%d\n",getval(x)-delta);break;
             case :printf("%d\n",getval(getrank(x+delta))-delta);break;
             case :printf("%d\n",getval(getrank(x+delta+)+)-delta);break;
         }
     }
 }

接下来，我们在0-1Trie的基础上，介绍可持久化Trie。

可持久化Trie树和前面两种可持久化数据结构一样，也是通过复制节点来实现可持久化操作。

在插入的时候，我们也是复制路径上的节点，由于可持久化Trie和主席树一样具有区间可减性，所以我们直接像主席树那样区间相减即可。

具体代码，长得和之前的可持久化Treap差不多……下面给出插入的代码（可能比较丑……）

 //bin[i]数组为预处理的2的i次方
 void insert(Trie *&o,Trie *old,int val,int i)
 {
     if(i<)return;
     int d=((val&bin[i])==bin[i]);//判断当前为是0还是1
     o->ch[d]=newTrie();o->ch[d^]=old->ch[d^];
     o->ch[d]->size=old->ch[d]->size+;
     insert(o->ch[d],old->ch[d],val,i-);
 }

可持久化Trie树经常用来处理与异或有关的k小问题。一般来说，我们都是把0-1Trie可持久化来维护数字运算，很少有把字符串的Trie可持久化的题目。

这里再给出两道可持久化Trie的基础题：

bzoj4103[Thu Summer Camp 2015]异或运算 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4103

我的题解：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7281945.html

bzoj3166[Heoi2013]Alo http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3166

我的题解：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7281860.html

可持久化Trie是一种和主席树同样优秀的数据结构，无疑是一种新的解题思路。希望大家能从我的博客中有所收获:)