UOJ188. 【UR #13】Sanrd

传送门

Sol

设 \(f_i\) 表示 \(i\) 的次大质因子

题目就是要求

\[\sum_{i=l}^{r}f_i
\]

考虑求 \(\sum_{i=1}^{n}f_i\)

所求的东西和质因子有关，考虑 \(min25\) 筛的那一套理论

设 \(s(n,j)=\sum_{i=1}^{n}[low_i\ge p_j]f_i\)，其中 \(low_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子，\(p_j\) 为第 \(j\) 个质数

那么考虑枚举最小质因子转移

首先如果 \(p_k\) 不是次大质因子，那么

\[S(n,j)=\sum_{k\ge j}\sum_{e=1}^{p_k^{e+1}\le n}S(\lfloor\frac{n}{p^{e}_k}\rfloor,k+1)
\]

如果 \(p_k\) 是次大质因子，那么还要加上

\[p_k\sum_{i=p_k}^{\lfloor\frac{n}{p^{e}_k}\rfloor}[i\in P]
\]

其中 \(P\) 表示质数集合

用 \(min25\) 筛筛出质数个数然后套用上面的方法就好了

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn(1e6 + 5);

int pr[maxn], tot, id1[maxn], id2[maxn], d, cnt;
bitset <maxn> ispr;
ll n, f[maxn], val[maxn];

inline void Sieve(int mx) {
	register int i, j;
	for (i = 2, ispr[1] = 1; i <= mx; ++i) {
		if (!ispr[i]) pr[++tot] = i;
		for (j = 1; j <= tot && pr[j] * i <= mx; ++j) {
			ispr[pr[j] * i] = 1;
			if (!(i % pr[j])) break;
		}
	}
}

# define ID(x) (x) <= d ? id1[x] : id2[n / (x)]

ll Calc(ll x, int m) {
	if (x <= 2 || pr[m] > x) return 0;
	register ll i, ret = 0, t;
	for (i = m; i <= tot && (ll)pr[i] * pr[i] <= x; ++i)
		for (t = pr[i]; (ll)pr[i] * t <= x; t *= pr[i])
			ret += Calc(x / t, i + 1) + (f[ID(x / t)] - i + 1) * pr[i];
	return ret;
}

inline ll Solve(ll _n) {
	register ll i, j;
	for (cnt = 0, d = sqrt(n = _n), i = 1; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i), val[++cnt] = n / i;
		val[cnt] <= d ? id1[val[cnt]] = cnt : id2[n / val[cnt]] = cnt;
		f[cnt] = val[cnt] - 1;
	}
	for (i = 1; i <= tot && (ll)pr[i] * pr[i] <= n; ++i)
		for (j = 1; j <= cnt && (ll)pr[i] * pr[i] <= val[j]; ++j)
			f[j] -= f[ID(val[j] / pr[i])] - i + 1;
	return Calc(n, 1);
}

ll l, r;

int main() {
	scanf("%lld%lld", &l, &r), Sieve(sqrt(r));
	printf("%lld\n", Solve(r) - Solve(l - 1));
	return 0;
}