寻找最小(最大)的k个数

题目描述：输入n个整数，输出其中最小的k个元素。

例如：输入1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3，4。

思路1：最容易想到的方法：先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数即可。如果选择快速排序法来进行排序，则时间复杂度：O（n*logn）

思路2：在思路1的基础上更进一步想想，题目并没有要求要查找的k个数，甚至后n-k个数是有序的，既然如此，咱们又何必对所有的n个数都进行排序列?如此，我们能想打的一个方法是：遍历n个数，先把最先遍历到得k个数存入大小为k的数组之中，对这k个数，利用选择或交换排序，找到k个数中的最大数kmax（kmax设为k个元素的数组中最大元素），用时O（k）（你应该知道，插入或选择排序查找操作需要O（k）的时间），后再继续遍历后n-k个数，x与kmax比较：如果x<kmax，则x代替kmax，并再次重新找出k个元素的数组中最大元素kmax ‘；如果x>kmax，则不更新数组。这样，每次更新或不更新数组的所用的时间为O（k）或O（0），整趟下来，总的时间复杂度平均下来为：n*O（k）=O（n*k）

思路3：与思路2方法类似，只是用容量为k的最大堆取代思路2中数组的作用（从数组中找最大数需要O(k)次查找，而从更新一个堆使之成为最大堆只需要O(logk)次操作）。具体做法如下：用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，并假设它们即是最小的k个数，建堆费时O（k）后，有k1<k2<…<kmax（kmax设为大顶堆中最大元素）。继续遍历数列，每次遍历一个元素x，与堆顶元素比较，x<kmax，更新堆（用时logk），否则不更新堆。这样下来，总费时O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。

思路4：按编程之美中给出的描述，类似快速排序的划分方法，N个数存储在数组S中，再从数组中随机选取一个数X（随机选取枢纽元，可做到线性期望时间O（N）的复杂度），把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素。像上述过程一样，这个运用类似快速排序的partition的快速选择SELECT算法寻找最小的k个元素，在最坏情况下亦能做到O（N）的复杂度。oh，太酷了，有没有！

思路5：仍然用到数据结构：堆。具体做法为：针对整个数组序列建最小堆，建堆所用时间为O（n），然后取堆中的前k个数，总的时间复杂度即为：O（n+k*logn）。

思路6：与上述思路5类似，不同的是在对元素数组原地建最小堆O(n)后，然后提取K次，但是每次提取时，换到顶部的元素只需要下移顶多k次就足够了，下移次数逐次减少（而上述思路5每次提取都需要logn，所以提取k次，思路7需要k*logn。而本思路只需要K^2）。此种方法的复杂度为O(n+k^2)。此方法可能不太直观，一个更直观的理解是：每次取出堆顶元素后，最小堆的性质被破坏了，我们需要调整最小堆使之满足最小堆的性质。由于我们只需要求取前k个数，我们无需将整个堆都完整的调整好，只需保证堆的最上面k个数是最小的就可以，即第一趟调整保持第0层到第k层是最小堆，第二趟调整保持第0层到第k-1层是最小堆…，依次类推。

在编码实现上述思路之前，你可能需要了解：快速排序、堆排序。

思路3的一个实现：

#include <stdio.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define PARENT(i) (i)/2
#define LEFT(i) 2*(i)+1
#define RIGHT(i) 2*(i+1)

void swap(int *a,int *b)
{
*a=*a^*b;
*b=*a^*b;
*a=*a^*b;
}
void max_heapify(int *arr,int index,int len)
{
int l=LEFT(index);
int r=RIGHT(index);
int largest;
if(l<len && arr[l]>arr[index])
largest=l;
else
largest=index;
if(r<len && arr[r]>arr[largest])
largest=r;
if(largest != index){//将最大元素提升，并递归
swap(&arr[largest],&arr[index]);
max_heapify(arr,largest,len);
}
}

void build_maxheap(int *arr,int len)
{
int i;
if(arr==NULL || len<=1)
return;
for(i=len/2+1;i>=0;--i)
max_heapify(arr,i,len);
}

void k_min(int *arr,int len,int k)
{
int i;
build_maxheap(arr,k);
for (i = k;i < len;i++)
{
if (arr[i] < arr[0])
{
arr[0] = arr[i];
max_heapify(arr,0,k);
}
}
}
/*
void heap_sort(int *arr,int len)
{
int i;
if(arr==NULL || len<=1)
return;
build_maxheap(arr,len);

for(i=len-1;i>=1;--i){
swap(&arr[0],&arr[i]);
max_heapify(arr,0,--len);
}
}
*/

int main()
{
int arr[10]={91,8,6,82,15,18,7,46,29,12};
int i;
k_min(arr,10,4);
for(i=0;i<10;++i)
printf("%d ",arr[i]);
system("pause");
}

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define PARENT(i) (i)/2

#define LEFT(i) 2*(i)+1

#define RIGHT(i) 2*(i+1)

void swap(int *a,int *b)

{

*a=*a^*b;

*b=*a^*b;

*a=*a^*b;

}

void max_heapify(int *arr,int index,int len)

{

int l=LEFT(index);

int r=RIGHT(index);

int largest;

if(l<len && arr[l]>arr[index])

largest=l;

else

largest=index;

if(r<len && arr[r]>arr[largest])

largest=r;

if(largest != index){//将最大元素提升，并递归

swap(&arr[largest],&arr[index]);

max_heapify(arr,largest,len);

}

void build_maxheap(int *arr,int len)

{

int i;

if(arr==NULL || len<=1)

return;

for(i=len/2+1;i>=0;--i)

max_heapify(arr,i,len);

}

void k_min(int *arr,int len,int k)

{

int i;

build_maxheap(arr,k);

for (i = k;i < len;i++)

{

if (arr[i] < arr[0])

{

arr[0] = arr[i];

max_heapify(arr,0,k);

}

void heap_sort(int *arr,int len)

{

int i;

if(arr==NULL || len<=1)

return;

build_maxheap(arr,len);

for(i=len-1;i>=1;--i){

swap(&arr[0],&arr[i]);

max_heapify(arr,0,--len);

}

int main()

{

int arr[10]={91,8,6,82,15,18,7,46,29,12};

int i;

k_min(arr,10,4);

for(i=0;i<10;++i)

printf("%d ",arr[i]);

system("pause");

}

思路4的实现

首先给出《编程之美》上给出的伪代码：

Kbig(S, k):
if(k <= 0):
return [] // 返回空数组
if(length S <= k):
return S
(Sa, Sb) = Partition(S)
return Kbig(Sa, k).Append(Kbig(Sb, k – length Sa)

Partition(S):
Sa = [] // 初始化为空数组
Sb = [] // 初始化为空数组
Swap(s[1], S[Random()%length S]) // 随机选择一个数作为分组标准，以
// 避免特殊数据下的算法退化，也可
// 以通过对整个数据进行洗牌预处理
// 实现这个目的
p = S[1]
for i in [2: length S]:
S[i] > p ? Sa.Append(S[i]) : Sb.Append(S[i])
// 将p加入较小的组，可以避免分组失败，也使分组
// 更均匀，提高效率
length Sa < length Sb ? Sa.Append(p) : Sb.Append(p)
return (Sa, Sb)

Kbig(S, k):

if(k <= 0):

return [] // 返回空数组

if(length S <= k):

return S

(Sa, Sb) = Partition(S)

return Kbig(Sa, k).Append(Kbig(Sb, k – length Sa)

Partition(S):

Sa = [] // 初始化为空数组

Sb = [] // 初始化为空数组

Swap(s[1], S[Random()%length S]) // 随机选择一个数作为分组标准，以

// 避免特殊数据下的算法退化，也可

// 以通过对整个数据进行洗牌预处理

// 实现这个目的

p = S[1]

for i in [2: length S]:

S[i] > p ? Sa.Append(S[i]) : Sb.Append(S[i])

// 将p加入较小的组，可以避免分组失败，也使分组

// 更均匀，提高效率

length Sa < length Sb ? Sa.Append(p) : Sb.Append(p)

return (Sa, Sb)

一个简化实现的如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void swap(int *a,int *b)
{
*a=*a^*b;
*b=*a^*b;
*a=*a^*b;
}
/*
为了简单起见，这里只是单纯的选取第一个元素作为枢纽元素。这样选取枢纽，就难避免使得算法容易退化。
*/
int k_big(int arr[],int low,int high,int k)
{
int pivot = arr[low];
int high_tmp = high;
int low_tmp = low;
while(low < high){
//从右向左查找，直到找到第一个小于枢纽元素为止
while (low < high && arr[high] >= pivot)
{
--high;
}
arr[low] = arr[high];
//从左向右查找，直到找到第一个大于枢纽元素为止
while (low < high && arr[low] <= pivot)
{
++low;
}
arr[high] = arr[low];
}
arr[low] = pivot;

if (low == k - 1)
{
return arr[low];
}else if(low > k - 1)
{
return k_big(arr,low_tmp,low-1,k);
}else
{
return k_big(arr,low+1,high_tmp,k);
}
}
int main()
{
int arr[10]={-91,0,6,82,15,18,7,46,-29,12};
int i;
k_big(arr,0,9,4);
for(i=0;i<10;++i)
printf("%d ",arr[i]);
system("pause");
}

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

void swap(int *a,int *b)

{

*a=*a^*b;

*b=*a^*b;

*a=*a^*b;

}

为了简单起见，这里只是单纯的选取第一个元素作为枢纽元素。这样选取枢纽，就难避免使得算法容易退化。

int k_big(int arr[],int low,int high,int k)

{

int pivot = arr[low];

int high_tmp = high;

int low_tmp = low;

while(low < high){

//从右向左查找，直到找到第一个小于枢纽元素为止

while (low < high && arr[high] >= pivot)

{

--high;

}

arr[low] = arr[high];

//从左向右查找，直到找到第一个大于枢纽元素为止

while (low < high && arr[low] <= pivot)

{

++low;

}

arr[high] = arr[low];

}

arr[low] = pivot;

if (low == k - 1)

{

return arr[low];

}else if(low > k - 1)

{

return k_big(arr,low_tmp,low-1,k);

}else

{

return k_big(arr,low+1,high_tmp,k);

}

int main()

{

int arr[10]={-91,0,6,82,15,18,7,46,-29,12};

int i;

k_big(arr,0,9,4);

for(i=0;i<10;++i)

printf("%d ",arr[i]);

system("pause");

}

题目描述

输入n个整数，输出其中最小的k个。

分析与解法

解法一

要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。

至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为 n*logn ），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度： O（n * log n)+O(k)=O（n * log n） 。

解法二

咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即：

1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数；
2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为
O（k）
）；

3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果
x < kmax
，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果
x >= kmax
，则继续遍历不更新数组。

每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为
O（k）
或
O（0）
。故整趟下来，时间复杂度为
n*O（k）=O（n*k）
。

解法三

更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：

1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果
x < kmax
，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。

这样下来，总的时间复杂度:
O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）
。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：
O(logk)
（若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：
O（k））
。

解法四

在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为
O（N）
的快速选择算法。如下述文字：

选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
- 如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
- 如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
- 否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。

此算法的平均运行时间为O(n)。

示例代码如下：

//QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1]

void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right )

{

    int i, j;

    int pivot;

    if( left + cutoff <= right )

    {

        pivot = median3( a, left, right );

        //取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况

        i = left; j = right - 1;

        for( ; ; )

        {

            while( a[ ++i ] < pivot ){ }

            while( a[ --j ] > pivot ){ }

            if( i < j )

                swap( &a[ i ], &a[ j ] );

            else

                break;

        }

        //重置枢纽元

        swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] );  

        if( k <= i )

            QuickSelect( a, k, left, i - 1 );

        else if( k > i + 1 )

            QuickSelect( a, k, i + 1, right );

    }

    else

        InsertSort( a + left, right - left + 1 );

}

这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb 俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的 k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到 O(n) 的复杂度。

更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。

举一反三

1、谷歌面试题：输入是两个整数数组，他们任意两个数的和又可以组成一个数组，求这个和中前k个数怎么做？

分析：

 “假设两个整数数组为A和B，各有N个元素，任意两个数的和组成的数组C有N^2个元素。

   那么可以把这些和看成N个有序数列：

          A[1]+B[1] <= A[1]+B[2] <= A[1]+B[3] <=…

          A[2]+B[1] <= A[2]+B[2] <= A[2]+B[3] <=…

          …

         A[N]+B[1] <= A[N]+B[2] <= A[N]+B[3] <=…

    问题转变成，在这N^2个有序数列里，找到前k小的元素”

2、有两个序列A和B,A=(a1,a2,...,ak),B=(b1,b2,...,bk)，A和B都按升序排列。对于1<=i,j<=k，求k个最小的（ai+bj）。要求算法尽量高效。

3、给定一个数列a1,a2,a3,...,an和m个三元组表示的查询，对于每个查询(i，j，k)，输出ai，ai+1，...，aj的升序排列中第k个数。