QuantLib 金融计算——数学工具之优化器

如果未做特别说明，文中的程序都是 Python3 代码。

QuantLib 金融计算——数学工具之优化器

载入模块

import QuantLib as ql

import scipy

print(ql.__version__)

1.12

概述

在量化金融的模型校准过程中，最重要的工具是对函数 $f : R^n \to R$ 的优化器。通常遇到的最优化问题是一个最小二乘问题。例如，寻找一个模型的参数使得某些损失函数最小化。

quantlib-python 中的最优化计算委托给 Optimizer 类，用户需要配置合适的参数以描述最优化问题，需要注意的是 Optimizer 对象默认求解的是某个函数“最小化”问题。

`Optimizer`

Optimizer 类的构造函数不接受参数，求解最优化问题的方式也非常简单，仅需调用 solve 函数即可：

solve(function,

      c,

      m,

      e,

      iv)

function：函数或函数对象，返回一个浮点数，所接受的参数是若干独立的浮点数；
c：Constraint 对象，描述优化问题的约束条件；
m：OptimizationMethod 对象，优化算法引擎；
e：EndCriteria 对象，描述优化问题的终止条件；
iv：Array 对象，优化计算的初始值。

solve 函数返回一个 Array 对象，存储找到的最小值点。

`Constraint`

quantlib-python 提供的具体约束条件均继承自 Constraint 类，有如下几种：

NoConstraint：无约束
PositiveConstraint：要求所有参数为正数
BoundaryConstraint：要求所有参数在某个区间内
CompositeConstraint：要求所有参数同时满足两个约束条件
NonhomogeneousBoundaryConstraint：对每个参数分别约束，要求其在某个区间内

`OptimizationMethod`

quantlib-python 提供的具体优化算法均继承自 OptimizationMethod 类，有如下几种：

LevenbergMarquardt：Levenberg-Marquardt 算法，实现基于 MINPACK；
Simplex：单纯形法；
ConjugateGradient：共轭梯度法；
SteepestDescent：最速下降法；
BFGS：Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno 算法；
DifferentialEvolution：微分进化算法；
GaussianSimulatedAnnealing：高斯模拟退火算法；
MirrorGaussianSimulatedAnnealing：镜像高斯模拟退火算法；
LogNormalSimulatedAnnealing：对数高斯模拟退火算法。

`EndCriteria`

最优化计算通常是一个迭代过程，我们需要定义一个终止条件以引导最优化计算结束，否则可能一直计算下去。终止条件由 EndCriteria 类参数化，其构造函数如下

EndCriteria(maxIteration,

            maxStationaryStateIterations,

            rootEpsilon,

            functionEpsilon,

            gradientNormEpsilon)

maxIteration：整数，最大迭代次数；
maxStationaryStateIterations：整数，稳定点（函数值和根同时稳定）的最大迭代次数；
rootEpsilon：浮点数，当前根与最新根的绝对差小于 rootEpsilon 时停止计算；
functionEpsilon：浮点数，当前函数值与最新函数值的绝对差小于 functionEpsilon 时停止计算；
gradientNormEpsilon：浮点数，当前梯度与最新梯度差的范数小于 gradientNormEpsilon 时停止计算；

注意，对于每种优化器来讲，并不是所有参数多是必须的。

示例

Rosenbrock 问题

我们以 Rosenbrock 函数（也简称为香蕉函数）为例测试优化器，这是一个经典的优化问题。函数定义如下：

\[f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2
\]

最小值点落在 $(x,y)=(1, 1)$，此时的函数值 $f(x,y)=0$。

首先定义 Rosenbrock 函数，注意，每个参数是独立的浮点数。

def RosenBrockFunction(x0, x1):

    res = (1 - x0) * (1 - x0) + 100.0 * (x1 - x0 * x0) * (x1 - x0 * x0)

    return res

接着，配置优化器，并测试 Simplex 和 ConjugateGradient 算法。初始值设定为 $(x, y) = (0.1, 0.1)$，最优化类型为“无约束”的。

例子 1

def testOptimizer1():

    maxIterations = 1000

    minStatIterations = 100

    rootEpsilon = 1e-8

    functionEpsilon = 1e-9

    gradientNormEpsilon = 1e-5

    myEndCrit = ql.EndCriteria(

        maxIterations,

        minStatIterations,

        rootEpsilon,

        functionEpsilon,

        gradientNormEpsilon)

    constraint = ql.NoConstraint()

    solver1 = ql.Simplex(0.1)

    solver2 = ql.ConjugateGradient()

    minimize = ql.Optimizer()

    min1 = minimize.solve(

        function=RosenBrockFunction,

        c=constraint,

        m=solver1,

        e=myEndCrit,

        iv=ql.Array(2, 0.1))

    min2 = minimize.solve(

        function=RosenBrockFunction,

        c=constraint,

        m=solver2,

        e=myEndCrit,

        iv=ql.Array(2, 0.1))

    print('{0:<30}{1}'.format('Root Simplex', min1))

    print('{0:<30}{1}'.format('Root ConjugateGradient', min2))

    print('{0:<40}{1}'.format(

        'Min F Value Simplex',

        RosenBrockFunction(min1[0], min1[1])))

    print('{0:<40}{1}'.format(

        'Min F Value ConjugateGradient',

        RosenBrockFunction(min2[0], min2[1])))

testOptimizer1()

Root Simplex                  [ 1; 1 ]

Root ConjugateGradient        [ 0.998904; 0.995025 ]

Min F Value Simplex                     2.929205541302239e-17

Min F Value ConjugateGradient           0.0007764961476745887

校准问题

下面虚拟一个模型校准问题。假设已知 4 个看涨期权的价格 $C_1 , C_2 , C_3 , C_4$，以及对应的敲定价 $K_i$，未知量是股票价格 $S_0$ 和波动率 $\sigma$，通过解决下面的最小二乘问题来求解出 $(\sigma, S_0)$，

\[f(\sigma, S_0) = \sum_{i=1}^4 (C(K_i, \sigma, S_0) - C_i)^2
\]

首先定义损失函数（函数对象），

class CallProblemFunction(object):

    def __init__(self,

                 rd, rf, tau, phi,

                 K1, K2, K3, K4,

                 C1, C2, C3, C4):

        self.rd_ = rd

        self.rf_ = rf

        self.tau_ = tau

        self.phi_ = phi

        self.K1_ = K1

        self.K2_ = K2

        self.K3_ = K3

        self.K4_ = K4

        self.C1_ = C1

        self.C2_ = C2

        self.C3_ = C3

        self.C4_ = C4

    @staticmethod

    def blackScholesPrice(spot, strike,

                          rd, rf,

                          vol, tau,

                          phi):

        domDf = scipy.exp(-rd * tau)

        forDf = scipy.exp(-rf * tau)

        fwd = spot * forDf / domDf

        stdDev = vol * scipy.sqrt(tau)

        dp = (scipy.log(fwd / strike) + 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev

        dm = (scipy.log(fwd / strike) - 0.5 * stdDev * stdDev) / stdDev

        res = phi * domDf * (fwd * norm.cdf(phi * dp) - strike * norm.cdf(phi * dm))

        return res

    def values(self,

               x0,

               x1):

        res = ql.Array(4)

        res[0] = self.blackScholesPrice(

            x0, self.K1_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C1_

        res[1] = self.blackScholesPrice(

            x0, self.K2_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C2_

        res[2] = self.blackScholesPrice(

            x0, self.K3_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C3_

        res[3] = self.blackScholesPrice(

            x0, self.K4_, self.rd_, self.rf_, x1, self.tau_, self.phi_) - self.C4_

        return res

    def __call__(self,

                 x0,

                 x1):

        tmpRes = self.values(x0, x1)

        res = tmpRes[0] * tmpRes[0]

        res += tmpRes[1] * tmpRes[1]

        res += tmpRes[2] * tmpRes[2]

        res += tmpRes[3] * tmpRes[3]

        return res

例子 2

def testOptimizer2():

    spot = 98.51

    vol = 0.134

    K1 = 87.0

    K2 = 96.0

    K3 = 103.0

    K4 = 110.0

    rd = 0.002

    rf = 0.01

    phi = 1

    tau = 0.6

    C1 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(

        spot, K1, rd, rf, vol, tau, phi)

    C2 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(

        spot, K2, rd, rf, vol, tau, phi)

    C3 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(

        spot, K3, rd, rf, vol, tau, phi)

    C4 = CallProblemFunction.blackScholesPrice(

        spot, K4, rd, rf, vol, tau, phi)

    optFunc = CallProblemFunction(

        rd, rf, tau, phi, K1, K2, K3, K4, C1, C2, C3, C4)

    maxIterations = 1000

    minStatIterations = 100

    rootEpsilon = 1e-5

    functionEpsilon = 1e-5

    gradientNormEpsilon = 1e-5

    myEndCrit = ql.EndCriteria(

        maxIterations,

        minStatIterations,

        rootEpsilon,

        functionEpsilon,

        gradientNormEpsilon)

    startVal = ql.Array(2)

    startVal[0] = 80.0

    startVal[1] = 0.20

    constraint = ql.NoConstraint()

    solver = ql.BFGS()

    minimize = ql.Optimizer()

    min1 = minimize.solve(

        function=optFunc,

        c=constraint,

        m=solver,

        e=myEndCrit,

        iv=startVal)

    print('Root', min1)

    print('Min Function Value', optFunc(min1[0], min1[1]))

Root [ 98.51; 0.134 ]

Min Function Value 5.979965971506814e-22