hdu2176nim博弈

就是要搞清楚nim博弈的原理

特别是证明方法，这一题就是第二条证明方法得出来的结论，只要a[i]^k<a[i]输出就行了

证明如下：

根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题： 1、这个判断将所有terminal position判为P-position；2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。

第一个命题显然，terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。

第二个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

第三个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define pi acos(-1)
#define ll long long
#define mod 100000000
#define ls l,m,rt<<1
#define rs m+1,r,rt<<1|1
#define MIN(a,b) a<b ? a:b
#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")

using namespace std;

const double g=10.0,eps=1e-;
const int N=+,maxn=+,inf=;

int a[N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    int n;
    while(cin>>n,n){
        int k;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            cin>>a[i];
            if(i==)k=a[i];
            else k=k^a[i];
        }
        if(k==)cout<<"No"<<endl;
        else
        {
            cout<<"Yes"<<endl;
            for(int i=;i<=n;i++)
            {
                int p=a[i]^k;
                if(p<a[i])
                   cout<<a[i]<<" "<<p<<endl;
            }
        }
    }
    return ;
}