题解-GXOI/GZOI2019 特技飞行

Problem

loj3085 bzoj不放题面差评

题意概要：给出两条竖直直线，再给出 $n$ 架飞机的初始航线：一条接通这两条直线的线段，保证航线交点不在两条直线上。现要求安排所有飞机在航线相交处做特技：

擦身而过：两架飞机按原方向线路继续前进，一次得分 $b$
对向交换：两架飞机交换线路继续前进，一次得分 $a$

另外，给定 $k$ 个边界与坐标轴成 $45°$角的正方形，若一次特技被至少一个正方形囊括，则总得分加 $c$

现要求决策每次相遇做的特技，求最大/最小收益

同时要求决策方案中所有飞机在两条竖直直线处按纵坐标的排序相同

$n, Q\leq 10^5$

交点个数 $\leq 5\times 10^5$

这题意概要好像和原题面差不多了qwq

Solution

$\mathrm{GXOI/GZOI2019}$ 的题好毒瘤啊，两道联赛、两道原题、一道麻将题……完全不想打，就这题还有点意思……还偏偏要整个二合一……

交点个数 $\leq 5\times 10^5$，应该是暗示要暴力求出来：交点一定是右部直线排序的逆序对（左部已经有序），用个 $set$ 暴力扫就是 $O(n\log n)$。就得到了所有交点

$c$ 的贡献很明显是单独求的，将坐标系旋转 $45°$ 后就可以扫描线了。所以其实难度在于如何求 $a,b$ 的贡献

设交点总数为 $t$，其中有 $x$ 个点交换航线，$t-x$ 个点不交换。这部分贡献是 $ax+b(t-x)=(a-b)x+bt$，所以总得分的最大最小值一定是 $x$ 取最值时取得，即只需要求最少/多有多少个点交换航线

首先因为要求飞机在起终点的顺序不变，而交换航线不会改变顺序，所有点都交换航线肯定是可行的，即 $x_{\max}=t$

再考虑最小值。假如所有点都不换航线（$x = 0$），在大部分情况下都不合法，考虑使用最少的交换航线使得最终状态与初始状态一致：可以发现，若按照原航线行进时，飞机状态的变化产生了 $s_1\rightarrow s_2\rightarrow ...\rightarrow s_m\rightarrow s_1$ 的循环，则可以使用 $m-1$ 次交换使得方案合法（一次交换可以使得一架且最多一架飞机到达指定位置，使 $m-1$ 架飞机合法后剩下的那一架飞机也即合法）

那么需要交换的次数为 "$n-$循环的个数"

复杂度为 $O(n\log n+k\log k)$，瓶颈在暴力找交点和扫描线

Code

代码中 get_cross 为暴力找交点，Circle 为找循环，Extra 为扫描线

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int&x){
	char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
}
const double eps = 1e-6;
const int N = 101000, M = 501000;
int l0[N], r0[N];
int n,L,R;
struct pnt {
	double x, y;
	friend inline bool operator < (const pnt&A,const pnt&B) {return A.x < B.x;}
}p[M];
int p0;
pnt crs(int i,int j) {
	double th = (double)abs(l0[i] - l0[j]) / (abs(l0[i] - l0[j]) + abs(r0[i] - r0[j]));
	return (pnt) {L + (R-L) * th, l0[i] + (r0[i] - l0[i]) * th};
}
set <int> c;
set <int> :: iterator itr;
map <int,int> mp;
int get_cross() {
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		c.insert(r0[i]);
		mp[r0[i]] = i;
		itr = c.find(r0[i]);
		for(++itr; itr != c.end(); ++itr) {
			int j = mp[*itr];
			p[++p0] = crs(i, j);
		}
	}
	return p0;
}
namespace Circle {
	int b[N], dad[N];
	int find(int x) {return dad[x] ? dad[x] = find(dad[x]) : x;}
	int main() {
		for(int i=1;i<=n;++i) b[i] = r0[i];
		sort(b+1,b+n+1);
		int res = 0;
		for(int i=1,j,p1,p2;i<=n;++i) {
			j = lower_bound(b+1,b+n+1,r0[i])-b;
			if((p1 = find(i)) == (p2 = find(j))) ++res;
			else dad[p1] = p2;
		}
		return p0 - (n - res);
	}
}
namespace Extra {
	double b[M+N+N];
	int Q, tot;
	struct LNE {
		double x, y1, y2; int w;
		friend inline bool operator < (const LNE&A,const LNE&B) {return A.x < B.x;}
	}l[N+N];
	namespace BIT {
		#define lb(x) (x&(-x))
		int d[M+N+N];
		inline int qry(int x) {
			int res = 0;
			for(int i=x;i;i-=lb(i)) res += d[i];
			return res;
		}
		inline void upd(int l, int r, int w) {
			for(;l<=tot;l+=lb(l)) d[l] += w;
			for(++r;r<=tot;r+=lb(r)) d[r] -= w;
		}
		#undef lb
	}
	void input() {
		double x, y;
		for(int i=1;i<=p0;++i) {
			x = p[i].x, y = p[i].y;
			p[i].x = x + y, p[i].y = x - y;
			b[++tot] = p[i].y;
		}
		sort(p+1,p+p0+1);
		int r; read(Q);
		for(int i=1;i<=Q;++i) {
			scanf("%lf%lf",&x,&y), read(r);
			l[i+i-1].x = x + y - r - eps;
			l[i+i-1].y1 = x - r - y - eps;
			l[i+i-1].y2 = x - y + r + eps;
			l[i+i-1].w = 1;
			l[i+i].x = x + y + r + eps;
			l[i+i].y1 = x - y - r - eps;
			l[i+i].y2 = x + r - y + eps;
			l[i+i].w = -1;
			b[++tot] = x - y + r + eps;
			b[++tot] = x - y - r - eps;
		}
		Q <<= 1;
		sort(l+1,l+Q+1);
		sort(b+1,b+tot+1);
		int tt0 = 0; b[0] = -1e10;
		for(int i=1;i<=tot;++i)
			if(fabs(b[i] - b[i-1]) > eps)
				b[++tt0] = b[i];
		tot = tt0;
		for(int i=1;i<=p0;++i) p[i].y = lower_bound(b+1,b+tot+1,p[i].y) - b;
		for(int i=1;i<=Q;++i) {
			l[i].y1 = lower_bound(b+1,b+tot+1,l[i].y1) - b;
			l[i].y2 = lower_bound(b+1,b+tot+1,l[i].y2) - b;
		}
	}
	int main() {
		input();
		int res = 0;
		for(int i=1,j=1;i<=p0;++i) {
			while(j <= Q and l[j].x <= p[i].x)
				BIT::upd(l[j].y1, l[j].y2, l[j].w), ++j;
			if(BIT::qry(p[i].y)) ++res;
		}
		return res;
	}
}
int main() {
	int A, B, C;
	read(n), read(A), read(B), read(C);
	read(L), read(R);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(l0[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(r0[i]);
	int ans1 = A * get_cross(), ans2 = ans1, exa;
	ans2 += (B - A) * Circle::main();
	exa = C * Extra::main();
	if(ans1 > ans2) swap(ans1, ans2);
	printf("%d %d\n",ans1 + exa, ans2 + exa);
	return 0;
}