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什么是决策树?它是如何工作的?

决策树是一种监督学习算法,常用于分类问题,可以工作于类别(categorical)和连续(continuous)输入与输出,可用于解决回归(regression)问题和分类(classification)问题。

例子:

有 30 名学生,他们有 3 个变量:Gender(男/女),Class(IX/X),Height(大于或小于 5.5) 。他们中的 15 名学生会在闲暇时间玩板球运动,现在的问题是需要建立一个模型来预测谁会在闲暇时间玩板球,我们需要根据三个非常重要的输入变量性别、年级和身高来区分在闲暇时间打板球的学生。

根据 Gender、Class 和 Height 对学生进行同质性分组,我们可以发现与其他两个变量相比,Gender 可以识别最佳的同质集。

决策树是确定最佳的变量,这个变量用于区分最佳的同质集,那么问题来了,如何确定这个变量呢?

决策树的类型

决策树的类型依据目标变量的类型而设定

1 - 类别变量决策树:如上文提到的学生问题,其研究变量为:学生是否会玩板球,是/否;

2 - 连续变量决策树:即研究的变量为连续的

一些术语

- Root Node:代表整个群体或样本;

- Splitting:将一个节点分成两个或更多节点的过程;

- Decision Node:有子节点的节点;

- Leaf/Terminal Node:不再分的节点;

- Pruning:从 Decision Node 删除一个子节点操作过程;

- Branch/Sub-Tree:从 Root Node 分离出来的一整个分支;

- Parent 和 Child Node:父节点和子节点的关系;

决策树常用算法

决策树算法需要根据目标变量进行选取

Gini Index 

Steps to Calculate Gini for a split

- 计算 sub-nodes 的 Gini 值:p^2 + q ^2(p,q 分别为 “1” 和 “0” 的概率)

- 计算该分支的加权 Gini 值

例子:

如上面提到“学生玩板球”问题,这里用 Gender 和 Class 对学生进行分类,如下

对 Gender:

1. Gini for sub-node Female = 0.2*0.2 + 0.8*0.8 = 0.68;

2. Gini for sub-node Male     = 0.65*0.65 + 0.35*0.35 = 0.55;

3. Weighted Gini for Split Gender = (10/30)*0.68 + (20/30)*0.55 = 0.59;

对 Class:

1. Gini for sub-node Class IX = 0.43*0.43 + 0.57*0.57 = 0.51;

2. Gini for sub-node Class X  = 0.56*0.56 + 0.44*0.44 = 0.51;

3. Weight Gini for Split Class = (14/30)*0.51 + (16/30)*0.51 = 0.51;

可以看到 Gender 的加权 Gini 值比 Class 的高,因此 Gender 比 Class 的分类能力好。

Chi-Square 

"It is an algorithm to find out the statistical significance between the differences between sub-nodes and parent node. We measure it by sum of squares of standardized differences between observed and expected frequencies of target variables"

Steps to Calculate Chi-square for a split

1. 计算每个 node 的 Success 、 Failure 的偏差(实际与期望的偏差);

2. 计算 Success、Failure 的 Chi-Square 的值:

Chi-square=((Actual-Expected)2/Expected)1/2

例子:

如上述“学生是否玩板球”的问题。

对于 Gender,

对于 Female 来说,实际观察:Play Cricket 有 2 人,Not Play Cricket 有 8 人; 根据理论上 50% 的概率来看:Play Cricket 和 Not Play Cricket 均有 5 人;

同理:对于 Male (20) 来说,

Play Cricket: Actual(13) , Expected(10)

Not Play Cricket:Actual(7) , Expected(10)

于是:Actual 与 Expected 的偏差:

Play Cricket: 2 - 5 = -3;

Not Plat Cricket: 8 - 5  = 3;

Male:

Play Cricket: 13 - 10 = 3;

Not Plat Cricket: 7 - 10  = -3;

于是:Chi-Square 值为:(根据前面公式

Play Cricket: (((-3)2)/5)1/2  = 1.34;

Not Play Cricket: (((3)2)/5)1/2  = 1.34;

Male:

Play Cricket: (((3)2)/10)1/2  = 0.95;

Not Play Cricket: (((-3)2)/10)1/2  = 0.95;

因此:

Total Chi-Square = 1.34 +1.34 + 0.95 + 0.95 = 4.58

同理,在 Class 方面,有以下结果:

显然,4.58 > 1.46,说明 Gender 比 Class 的分类结果更好。

Information Gain

样本值越相似所含的信息就越少, 也就是说该样本越纯(Pure Node);反之,样本越不纯(Impure Node),包含的信息越多。

Entropy (熵

p、q 分别为某节点 Success 和 Failure 的概率

如果样本是完全同质的,则熵为 0, 如果是均分的(各占 50%),则熵为 1

选取的标准是:比父节点和其他节点的熵更低的分类方式(熵越小越好)

熵也是适用于类别变量

熵的计算方法:

1 - 计算父节点的熵;

2 - 计算每个子节点的熵,计算所有子节点的加权平均

例子:如上述所提到的“学生是否玩板球”问题

1 - 父节点的熵 = -(15/30)log2(15/30) - (15/30)log2(15/30)  = 1 ;

2 - Female 节点熵 =  -(2/10)log2(2/10) - (8/10)log2(8/10) = 0.72;

Male 节点熵 = -(13/20)log2(13/20) - (7/20)log2(7/20) = 0.93;

3 - Gender 分类熵 = (10/30) * 0.72 + (20/30) * 0.93 = 0.86

同理,对于 Class 分类:

4 -  Class Ix 节点熵 = -(6/14)Log2(6/14) - (8/14)log2(8/14) = 0.99;

Class X 节点熵 = -(9/16)log2(9/16) - (7/16)log2(7/16) =  0.99;

5 - Class 分类熵 = (14/30) * 0.99 + (16/30) * 0.99 = 0.99

综上可知,Gender 分类的熵比 Class 分类的熵小(0.86 < 0.99),因此 Gender 分类方式更好。

Reduction in Variance 

使用于连续变量的分类, 更小的 variance 更适合用于分类(越小越好)

上式中,x-bar 是样本均值,x 是实际值,n 是样本数量

Steps to calculate variance:

1. 计算各个节点的 variance;

2. 计算每个类别的加权平均;

例子:

设 1 为 Play Cricket,0 为 Not Play Cricket

1. 对于 Root Node,均值为 (15*1 + 15*0)/30 = 0.5,于是

variance =(15 * (1-0.5)+ 15 * (0-0.5)2)/30 = 0.25

2. Female Node,均值为 (2*1 + 8*0)/10 = 0.2,variance = (2*(1-0.2)2+8*(0-0.2)2)/10 = 0.16;

3. Male Node,均值为 (13*1 + 7*0)/20 = 0.65,variance = (13*(1-0.65)2+ 7*(0-0.65)2)/20 = 0.23;

4. 于是,Gender 分类的 variance  = (10/30) * 0.16 + (20/30) * 0.23 = 0.21

5. Class IX Node,均值为 (6*1 + 8*0)/14 = 0.43,variance = (6*(1-0.43)2 + 8*(0-0.43)2)/14 = 0.24;

6. Class X Node,均值为 (9*1 + 7*0)/16 = 0.56,variance = (9*(1-0.56)2 + 7*(0-0.56)2) /16  = 0.25;

7. 于是,Class 分类的 variance = 14/30 * 0.24 + 16/30 * 0.25 = 0.25

综上可知,Gender 分类的 variance 更小(0.21 < 0.25),因此其分类效果更好。


2019-01-26 00:50:18 未完待续。。

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