N 个互异数的数组的平均逆序数

N 个互异数的数组的平均逆序数为 N(N−1)/4

1. 简单证明

对于任意的数的表 L（5,8,9,6,4），以及其反序表 Lr（4,6,9,8,5），它们各自的逆序数分别为：6 ((5, 4), (8, 6), (8, 4), (9, 6), (9, 4), (6, 4))，4（(6, 5), (9, 8), (9, 5), (8, 5)）。也即表与其反序表的逆序数之和为 6+4=10，恰好是元素总数 5 关于 2 的排列数，(52)=10。

因为任意一对数（x,y）且x在前又x>y的情况（逆序数的定义）一定会在二表之一中，所以可以说一个互异数表与其反序表的逆序数之和一定是N（N-1）/2，也就是说任意一个互异数表的平均逆序数为 N（N-1）/4.

2. 基于相邻元素交换的排序算法的下界

上述定理意味着，对于插入排序（基于逆序数的个数 O(I+N)，N 表示遍历，I表示逆序数的个数）而言，平均的时间复杂度是二次的，同时也提供了只交换相邻元素的任何算法的一个很强的下界。