HDU 4937 Lucky Number 搜索

题意：

　　给你一个数，求在多少种不同的进制下这个数每一位都是3、4、5、6中的一个。

思路：　　

　　搜索。枚举这个数在任意进制下的表示，判断是否合法。当数字只有3、4、5、6时，必定有无穷种。

　　因为数字太大，所以直接枚举必定会超时。

　　下面有两种剪枝的方法：

　　　　1. 先枚举最后一位的情况。 假设数字n在base进制下表示为 a[n]...a[0]，即 n = a[0] + a[1]*base^1 + ... + a[n]*base^n。

　　 则 n - a[0] = a[1]*base^1 + ... + a[n]*base^n = base * (a[1] + ... + a[n]*base^(n-1) )。 即n - a[0] 是base 的倍数。

　　 所以，我们可以确定base是n-a[0]的因子。 所以，我们可以先枚举在某个进制下的末位a[0]，然后在枚举 n-a[i]的因子就好了。

　　代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <functional>
 #include <time.h>

 using namespace std;

 typedef __int64 ll;

 const int INF = <<;
 const int MAXN = (int) 1e6+;

 int Prime[MAXN], len;
 bool is[MAXN];

 ll f[];
 int cnt[], num;

 void factor(ll x) { //分解质因数
     num = ;
     if (x==) return ;
     for (int i = ; i < len; i++) if ((x%Prime[i])==) {
         f[num] = Prime[i];
         cnt[num] = ;
         while (x%Prime[i]==) {
             x /= Prime[i];
             cnt[num]++;
         }
         num++;
         if (x==) break;
         if (x<Prime[len-] && !is[x]) break;
     }
     if (x!=) {
         f[num] = x;
         cnt[num++] = ;
     }
 }

 ll n;
 int ans;

 void dfs(ll base, int deep) { //枚举可以重复的组合
     if (deep==num) {
         if (base < ) return ;
         ll tmp = n, t;
         while (tmp) {
             t = tmp%base;
             if (!(<t&&t<)) return ;
             tmp /= base;
         }
         ans++;
         return ;
     }
     ll tmp = base;
     for (int i = ; i <= cnt[deep]; i++) {
         dfs(tmp, deep+);
         tmp *= f[deep];
     }
 }

 void solve() {
     scanf("%I64d", &n);
     ans = ;
     if (<n&&n<) {
         puts("-1");
         return ;
     }
     for (int i = ; i < ; i++) if (n-i>) { //枚举末位
         factor(n-i);
         dfs(1LL, );
     }
     printf("%d\n", ans);
 }

 int main() {
     #ifdef Phantom01
         freopen("HDU4937.in", "r", stdin);
     #endif //Phantom01

     memset(is, false, sizeof(is));
     len = ;
     for (int i = ; i < MAXN; i++) if (!is[i]) {
         Prime[len++] = i;
         for (ll j = i*; j < MAXN; j+=i)
             is[j] = true;
     }

     int T;
     scanf("%d", &T);
     for (int i = ; i <= T; i++) {
         printf("Case #%d: ", i);
         solve();
     }

     return ;
 }

　　　　2. 当n在base进制下为一位数的时候，为3、4、5、6，则一定存在无穷种进制下都是这个一位数。

　　　　　两位数时， n = a[1]*base + a[0]

　　　　　三位数时，n = a[2]*base^2 + a[1]*base + a[0]

　　　　因此，在n是两位数或者三位数时，我们可以枚举这个两位数或者三位数，求得有多少个base能得到这个两位数或三位数。

　　　　当 n 是4位数或者更多时， n = a[0] + a[1]*base^1 + ... + a[n]*base^n > 3*base^4 。即 3*base^4 < n <= 1e12。 所以，此时base < 7000。

　　　　所以，我们可以暴力枚举n是四位数的情况，而这时的base不会大于7000 。所以就不会超时了。

　　代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <functional>
 #include <time.h>

 using namespace std;

 typedef __int64 ll;
 const int INF = <<;

 ll n;
 int ans;

 inline int function1(ll a, ll b) { //n = a*base + b
     if (((n-b)%a)!=) return ; //如果不是整数
     ll tmp = (n-b)/a;
     if (a>=tmp || b>=tmp) return ; //如果位数大于进制数
     return ;
 }

 inline int function2(ll a, ll b, ll c) { //n = a*base^2 + b*base + c
     c -= n;
     ll t1 = b*b-*a*c;
     if (t1<) return ;
     ll t2 = (ll) sqrt((double)t1);
     if (t2*t2!=t1) return ;
     if (((t2-b)%(*a))!=) return ;
     t1 = (t2-b)//a;
     if (t1<=a || t1<=b || t1<=c || t1<=) return ;
     return ;
 }

 inline bool check(int base) {
     ll t = n, cnt = , tt;
     while (t>) {
         tt = t%base;
         if (!(<tt&&tt<)) return false;
         t /= base;
         cnt++;
     }
     return cnt>;
 }

 void solve() {
     scanf("%I64d", &n);

     if (<n&&n<) {
         puts("-1");
         return ;
     }

     ans = ;
     for (int i = ; i < ; i++) {
         for (int j = ; j < ; j++) {
             for (int k = ; k < ; k++) {
                 ans += function2(i, j, k);
             }
             ans += function1(i, j);
         }
     }
     ll len = min(n, 7000ll);
     for (int i = ; i < len; i++)
         ans += check(i) ?  : ;

     printf("%d\n", ans);
 }

 void ttt(int i) {
     int t = ;
     printf("%d:", i);
     while (t) {
         printf("%d ", t%i);
         t /= i;
     }
     puts("");
 }

 int main() {
     #ifdef Phantom01
         freopen("HDU4937.in", "r", stdin);
 //        freopen("HDU4937.txt", "w", stdout);
     #endif //Phantom01

     int T;
     scanf("%d", &T);
     for (int i = ; i <= T; i++) {
         printf("Case #%d: ", i);
         solve();
     }

     return ;
 }