CF915F Imbalance Value of a Tree (并查集)

题目大意：给你一棵树，每个点有点权a_{i}，求$\sum _{i=1}^{n} \sum _{j=i}^{n} f(i,j)$,$f(i,j)$表示i,j,路径上的点的最大权值-最小权值

正解的思路好神啊

正解：

首先，原式可以拆成$\sum _{i=1}^{n} \sum _{j=i}^{n} max(i,j) \; - \; \sum _{i=1}^{n} \sum _{j=i}^{n} min(i,j)$

max的求法和min类似，这里只讨论min的求法

把点按照从大到小排序，依次加入树里

感性理解成以当前点的点权作为最小值，那么这个点会向它周围已经被加入树里的联通块"扩散"去更新答案

答案就是这个点周围（剩余联通块的点数-当前联通块的点数）*点权，然后 剩余点数-当前联通块点数

也可以省去减法步骤，把最终答案除以二

并查集维护联通块即可，算上排序，总时间约为$O(nlogn)$

 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define N 1001000
 #define ll long long
 using namespace std;

 int gint()
 {
     int ret=,f=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
     return ret*f;
 }
 int n,cte,tim;
 int w[N],head[N],use[N];
 int fa[N],sz[N];
 void init(){for(int i=;i<=n;i++)fa[i]=i,sz[i]=;}
 int find_fa(int x){
     int y=x,pre;while(fa[y]!=y)y=fa[y];
     while(fa[x]!=y){
         pre=fa[x],fa[x]=y,x=pre;
     }return y;
 }
 struct node{int id,val;}a[N];
 struct Edge{int to,nxt;}edge[N*];
 void ae(int u,int v){
     cte++;edge[cte].nxt=head[u];
     edge[cte].to=v,head[u]=cte;
 }
 int cmp(node s1,node s2){return s1.val<s2.val;}

 ll solve1()
 {
     sort(a+,a+n+,cmp);
     int x,y,fx,fy;
     init(); ll ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         ll sum=;x=a[i].id;
         for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
             int v=edge[j].to;
             if(use[v]){
                 fy=find_fa(v);
                 sum+=sz[fy];
             }
         }sum++;
         for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
             int v=edge[j].to;
             if(use[v]){
                 fy=find_fa(v);
                 ans+=1ll*(sum-sz[fy])*sz[fy]*a[i].val;
                 sum-=sz[fy];
                 fa[fy]=x,sz[x]+=sz[fy];
             }
         }
         use[x]=;
     }return ans;
 }
 ll solve2()
 {
     memset(use,,sizeof(use));
     int x,y,fx,fy;
     init(); ll ans=;
     for(int i=n;i>=;i--)
     {
         ll sum=;x=a[i].id;
         for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
             int v=edge[j].to;
             if(use[v]){
                 fy=find_fa(v);
                 sum+=sz[fy];
             }
         }sum++;
         for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
             int v=edge[j].to;
             if(use[v]){
                 fy=find_fa(v);
                 ans+=1ll*(sum-sz[fy])*sz[fy]*a[i].val;
                 sum-=sz[fy];
                 fa[fy]=x,sz[x]+=sz[fy];
             }
         }
         use[x]=;
     }return ans;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     int x,y;
     for(int i=;i<=n;i++)
         w[i]=a[i].val=gint(),a[i].id=i;
     for(int i=;i<n;i++)
         x=gint(),y=gint(),ae(x,y),ae(y,x);
     ll ans1=solve1();
     ll ans2=solve2();
     printf("%I64d\n",ans1-ans2);
     return ;
 }