【BZOJ2115】[Wc2011] Xor 高斯消元求线性基+DFS
【BZOJ2115】[Wc2011] Xor
Description
Input
第一行包含两个整数N和 M, 表示该无向图中点的数目与边的数目。 接下来M 行描述 M 条边,每行三个整数Si,Ti ,Di,表示 Si 与Ti之间存在 一条权值为 Di的无向边。 图中可能有重边或自环。
Output
仅包含一个整数,表示最大的XOR和(十进制结果),注意输出后加换行回车。
Sample Input
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2
Sample Output
HINT
题解:以前用到DFS树的情况比较少,现在需要在加深一下对DFS树的理解了~
*结论:任意一条从1到n的路径,都可以被任意令一条从1到n的路径和一堆环替代。(因为是异或,所以显然)
所以我们只需要任意找一条从1到n的路径,然后再把所有的环都找出来。
但是我们这里的环不是Tarjan那里的环,我们要找到的都是简单环,所以要用DFS(有什么区别?)
因为DFS树(就是DFS找出的树)有一个性质:没有横叉边,所以每条返祖边都唯一对应一个简单环。
那么现在问题就变成了给出一堆数,可以选或不选,要求选出来的数和一个固定的数的异或和最大。
方法:网上大部分题解都说先搞出线性基,然后贪心就行了,然而本蒟蒻不知道什么是线性基,现去学了一发
高斯消元的过程,就是我们将一个满秩的矩阵尽可能的消成一个上三角矩阵的过程,而我对线性基的理解就是:最后得到的那个近似于上三角的矩阵(因为有的位置可能没有消完)。容易发现,线性基可以表示原集合中的所有数。
所以你已经知道了一个上三角矩阵,然后如何使得异或值最大呢?显然从大到小一个一个试就行了嘛!如果当前位线性基不为0,但是原数为0,那就异或上这个数就行了。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,cnt,tot;
int to[200010],next[200010],head[50010],vis[50010];
ll val[200010],v[500010],dis[50010],ans;
void add(int a,int b,ll c)
{
to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
void dfs(int x,int fa)
{
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])
{
if(to[i]==fa) continue;
if(vis[to[i]]) v[++tot]=val[i]^dis[to[i]]^dis[x];
else dis[to[i]]=dis[x]^val[i],dfs(to[i],x);
}
}
void gauss()
{
ll i;
int j,k=0;
for(i=1ll<<60;i;i>>=1)
{
for(k++,j=k;j<=tot;j++) if(v[j]&i)
{
swap(v[j],v[k]);
break;
}
if(!(v[k]&i))
{k--; continue;}
for(j=k+1;j<=tot;j++) if(v[j]&i) v[j]^=v[k];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,a,b;
ll c;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%lld",&a,&b,&c);
add(a,b,c),add(b,a,c);
}
dfs(1,0),gauss();
ans=dis[n];
for(i=1;i<=60&&i<=tot;i++) if((ans^v[i])>ans) ans^=v[i];
printf("%lld",ans);
return 0;
}
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